信号系统之复数傅立叶变换

1 实数DFT

傅里叶变换系列的所有四个成员（DFT、DTFT、傅里叶变换和傅里叶级数）都可以用实数或复数进行。由于DSP主要关心的是DFT，所以就以它为例。

可以根据以下方程定义离散傅里叶变换的实数版本：

一个 N 个样本时域信号 被分解为一组N/2+1的cosine信号和N/2+1的sine信号。

对于复数DFT，当正弦曲线用复数表示时，允许加法和减法，但禁止乘法和除法。

实数DFT无法处理频谱的负频率部分，这通常是在混叠、循环卷积和幅度调制中发生的情况。还有对ReX [0] 和ReX [N/2]的特殊处理，因为需要除以2，这在程序方便实现，但在方程中不便处理。

2 数学等价

第一步是展示如何将正弦波和余弦波写成复数方程：

可以将这种关系重新排列成另外两种形式：

对上式做一些改变：

每个表达式都是两个指数之和：一个包含正频率 ($\omega$)，另一个包含负频率 ($-\omega$)。换句话说，当正弦波和余弦波写成复数时，自动包含频谱的负部分。正负频率同等对待；它需要每个波形的二分之一才能形成完整的波形。

3 复数DFT

正向复数 DFT 以极坐标形式表示，由下式给出：

或者，可以使用欧拉关系将正向变换重写为矩形形式：

图 31-1 说明了复数 DFT 的频谱。该图假设时域是完全实数的，即其虚部为零。显示复杂频谱有两种常见方法，如图所示，零频率可以放置在中心，正频率放置在右侧，负频率放置在左侧。这是考虑完整频谱的最佳方式，也是显示非周期频谱的唯一方式。

问题在于离散信号的频谱是周期性的（例如 DFT 和 DTFT）。这意味着 -0.5 到 0.5 之间的所有值都会向左和向右重复无限次。在这种情况下，0 到 1.0 之间的频谱包含与 0.5 到 0.5 之间的频谱相同的信息。当制作图表时，如图31-1，通常使用-0.5到0.5的约定。然而，许多方程和程序使用 0 到 1.0 的形式。例如，在等式31-5 和 31-6 中频率索引 k 从 0 到 N-1（与 0 到 1.0 一致）。但如果需要，可以将其编写为从 -N/2 到 N/2-1（与 -0.5 到 0.5 一致）运行。

使用图 31-1 中的频谱作为指导，可以检查逆复数 DFT 如何重建时域信号。逆复数 DFT 以极坐标形式表示，由下式给出：

使用欧拉关系，可以将其写成矩形形式：

31-7 是逆 DFT 的通常写法，但式 31-9可以更容易理解。换句话说，频域实部的每个值都会向时域贡献一个实余弦波和一个虚正弦波。同样，频域虚部中的每个值都贡献一个实正弦波和一个虚余弦波。时域是通过将所有这些实部和虚部正弦曲线相加得出的。重要的概念是频域中的每个值都会在时域中产生实数正弦曲线和虚数正弦曲线。

例如，假设想要重建频率为 $2\pi k/N$的单位振幅余弦波。这需要正频率和负频率，均来自频谱的实部。图 31-1 中的两个方形标记就是一个例子，频率设置为：k/N=0.23。对于正频率0.23（图 31-1 中标记为 2）在时域中的贡献为：

同样，负频率-0.23 处的（图 31-1 中标记为 2）也会向时域贡献一个余弦波和一个虚正弦波：

根据：

上式可以化为：

将正频率和负频率的贡献相加即可重建时域信号：

以同样的方式，可以在时域合成正弦波。在这种情况下，需要频谱虚部的正频率和负频率。图 31-1 中的圆形标记显示了这一点。根据方程31-8，这些频谱值向时域贡献正弦波和虚余弦波。虚余弦波相消，而实正弦波相加：

注意，即使正频率具有正值，也会生成负正弦波。这种符号反转是复数 DFT 数学的固有部分。这种相同的符号反转通常用于真实的 DFT。也就是说，频谱的虚部中的正值对应于负正弦波。大多数作者将这种符号反转包含在实傅里叶变换的定义中，以使其与其复数对应物保持一致。关键是，这种符号反转必须在复数傅里叶变换中使用，但在实数傅里叶变换中只是一个选项。

复数傅立叶变换的对称性非常重要。如图31-1所示，实时域信号对应于具有偶数实部和奇数虚部的频谱。换句话说，负频率和正频率在实部（如图31-1中的点1和2）具有相同的符号，但在虚部（点3和4）具有相反的符号。

这就引出了另一个话题：时域的虚部。到目前为止，都假设时域是完全实数的，即虚部为零。然而，复杂的傅里叶变换不需要这个。

虚数时域信号的物理意义是什么？通常情况下没有。这只是复杂数学允许的事情，与生活的世界没有对应关系。但是，在某些应用程序中可以出于数学目的使用或操纵它。

4 傅里叶变换家族

1）四个傅立叶变换

时域信号可以是连续的或离散的，也可以是周期性的或非周期性的。这定义了四种类型的傅里叶变换：

• 离散傅里叶变换（离散、周期）
• 离散时间傅里叶变换（离散、非周期）
• 傅里叶级数（连续、周期）
• 傅里叶变换（连续、非周期）

不要试图理解这些名称背后的原因，根本不存在。

如果信号在一个域中是离散的，则在另一域中它将是周期性的。同样，如果信号在一个域中是连续的，则在另一域中将是非周期性的。

连续信号用括号 ( ) 表示，离散信号用括号 [ ] 表示。没有符号来指示信号是周期性的还是非周期性的。

2）实数与复数

这四种变换中的每一种都有一个复数版本和一个实数版本:

• 复数版本具有复数时域信号和复数频域信号。
• 实数版本具有一个实时域信号和两个实频域信号。

在复数情况下使用正频率和负频率，而在实数变换中仅使用正频率。复数的变换通常写成指数形式，但如果需要，可以使用欧拉关系将它们更改为余弦和正弦形式。

3）分析与合成

每个变换都有一个分析方程（也称为正变换）和一个合成方程（也称为逆变换）：

• 分析方程描述了如何根据时域中的所有值计算频域中的每个值。
• 合成方程描述了如何基于频域中的所有值来计算时域中的每个值。

4）时域表示法

连续时域信号称为x(t)，离散时域信号称为x[n] ：

• 对于复数的变换，这些信号是复数的。
• 对于实数变换，这些信号是实数。

所有时域信号从负无穷延伸到正无穷。然而，如果时域是周期性的，我们只关心单个周期，因为其余的都是多余的。变量 T 和 N 分别表示时域中连续和离散信号的周期。

5）频域表示法

复数连续频率信号为$X(\omega )$，如果是实数则为$ReX(\omega )$和$ImX(\omega )$。

复数离散频率信号为$X[k]$，如果是实数则为$ReX[k]$和$ImX[k]$。

复数变换具有从负无穷大到零的负频率和从零到正无穷大的正频率。实数变换仅使用正频率。如果频域是周期性的，只关心单个周期，因为其余的都是多余的。对于连续频域，自变量 $\omega$ 构成从$-\pi$到$\pi$的一个完整周期。在离散情况下，k 构成从 0 到 N-1 的周期。

6）分析方程

分析方程通过相关进行运算，即将时域信号乘以正弦曲线并在适当的时域部分上积分（连续时域）或求和（离散时域）：

• 如果时域信号是非周期性的，则适当的部分是从负无穷大到正无穷大。
• 如果时域信号是周期性的，则适当的部分位于任何一个完整周期上。

此处显示的方程是通过以下时间段内的积分（或求和）编写的：0 到 T（或 0 到 N-1）。然而，任何其他完整的周期都会给出相同的结果，即 -T 到 0、-T/2 到 T/2 等。

7）合成方程

合成方程描述了如何根据频域中的所有点计算时域中的单个值。这是通过将频域乘以正弦曲线，并在适当的频域部分上积分（连续频域）或求和（离散频域）来完成的：

• 如果频域是复数且非周期性的，则适当的部分是负无穷到正无穷。
• 如果频域是复数且周期性的，适当的部分是一个完整的周期，即$-\pi$到$\pi$（连续频域），或0到N-1（离散频域）。
• 如果频域是实数且非周期性的，则适当的部分是零到正无穷大，即只有正频率。
• 最后，如果频域是实数且周期性的，则适当的部分是包含正频率的半个周期，即 0 到$\pi$（连续频域）或 0 到 N/2（离散频域）。

8）比例因子

为了使分析和合成方程相互抵消，必须在一个或另一个方程上放置比例因子。在表 31-1 中，将比例因子与分析方程放在一起：

• 在复数情况下，这些缩放因子为：1/N、1/T 或 1/2$\pi$。
• 由于实数变换不使用负频率，因此缩放因子是原来的两倍：2/N、2/T 或 1/$\pi$。实数变换还在频谱虚部的计算中包含负号（用于使实数变换与复数变换更加一致的选项）。
• 最后，实 DFT 和实傅里叶级数的综合方程具有涉及 ReX (0) 和 ReX[N/2] 的特殊缩放指令。

9）Variations

5 为什么使用复数傅里叶变换