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德鲁特金属导电理论（Drude）

news 2026/1/12 15:12:07

德鲁特模型的重要等式

首先我们建立德鲁特模型的重要等式

\vec F_e =m_e \frac{d\vec v}{dt}=-e\vec E-m_e\frac{\vec v}{\tau}

我们把原子对于电子的阻碍作用，用一个冲量近似表示出来

在式子\frac{d\vec v}{dt}=-\frac{e \vec E}{m_e}-\frac{\vec v}{ \tau}

首先定义一个等效加速度

\frac{e\vec E}{m_e}=\frac{\vec v_d}{\tau}

由于

\vec j=-ne\vec v=-ne\vec v_d=ne(\frac{e\vec E \tau}{m_e})=\sigma_0 \vec E 

我们可以得到电导率的微观表达式\sigma_0 =\frac{ne^2 \tau } { m_e }

在交流电环境中

电场的表达式E(t)=E(\omega)e^{i\omega t}

 借鉴上一问的公式

我们可以列出这样的表达式

m\frac{d\vec v(t)}{dt}=-eE(t)-m_e \frac{\vec v(t)}{\tau}，代入电场的表达式，我们可以得到

m\frac{E(\omega) de^{-i\omega t}}{dt}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}

左边求导数，我们可以得到

-i\omega m_e E(\omega) e^{-i\omega t}=-eE(\omega) de^{-i\omega t}-m_e \frac{\vec v(\omega)e^{-i\omega t}}{\tau}

化简可以得到

m_e \vec v(\omega)e^{-i\omega t}(-i\omega +\frac{1}{\tau})=-e\vec E e^{-i\omega t}

我们解得

m_e \vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{(\frac{1}{\tau}-i\omega)}

\vec v(\omega)=-\frac{e\vec E(\omega)}{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}

解得

\vec j=-ne\vec v= \frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}\vec E(\omega)

我们可以得到

\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}

这个式子的重要应用就是EM波，电磁波在金属中的传播

\sigma(\omega)=\frac{ne^{2} }{m_e (\frac{1}{\tau}-i\omega)}=\frac{\sigma_0}{(1-i\omega \tau)}

在电磁波的传播中要记住这么几个等式

首先是色散关系表达式

k^2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon(\omega),\varepsilon(\omega)=1+\frac{i\sigma_0}{\varepsilon_0 \omega(1-i\omega \tau)}

我们定义plasma frequency

\omega_p=\sqrt{\frac{n e^2}{ m_e \varepsilon_0}}

我们可以得到

\varepsilon(\omega)=1+\frac{\omega_p^{2}}{\omega(\frac{1}{i\tau}-\omega)}

\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}

if \ \ \ \omega \tau>>1,\omega^2>>\frac{\omega}{\tau}

\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_p^{2}}{i\frac{\omega}{\tau}+\omega^2}=1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}

if \ \ \ \omega =\omega_p,\varepsilon(\omega)=0,k=0,\lambda =\frac{2 \pi}{k}=\infty

the propagation mode with \omega_p对应于均匀震荡电子气在金属中，这个模式称为等离子震荡模式

 给出了电磁波的金属中的传播条件

 

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