SNR = 6.02N + 1.76dB 公式推导

简介

接触ADC或DAC时您一定会碰到这个经常被引用的公式，用于计算转换器理论信噪比 (SNR)。与其盲目地相信表象，不如从根本上了解其来源，因为该公式蕴含着一些微妙之 处，如果不深入探究，可能导致对数据手册技术规格和转换器性能的误解。记住，该公式 代表的是完美N位ADC的理论性能。您可以比较ADC的实际SNR与理论SNR，看看二者有 何异同。 本教程首先推导N位模数转换器(ADC)的理论量化噪声，知道均方根量化噪声电压后，就 可以计算理论信噪比(SNR)。此外还会分析过采样对SNR的影响。

量化噪声模型

理想转换器对信号进行数字化时，最大误差为±½ LSB，如图1的一个理想N位ADC的传递 函数所示。对于任何横跨数个LSB的交流信号，其量化误差可以通过一个峰峰值幅度为q (一个LSB的权重)的非相关锯齿波形来近似计算。对该近似法还可以从另一个角度来看 待，即实际量化误差发生在±½ q范围内任意一点的概率相等。虽然这种分析不是百分之百 精确，但对大多数应用是足够准确的。

图2更详细地显示了量化误差与时间的关系。同样，一个简单的锯齿波形就能提供足够准 确的分析模型。锯齿误差的计算公式如下：

e(t) = st, –q/2s < t < +q/2s.

e(t)的均方值可以表示为：、

锯齿误差波形产生的谐波远远超过DC至fs /2的奈奎斯特带宽，然而，所有这些高阶谐波必 须折回(混叠)到奈奎斯特带宽并相加，产生q/√12的均方根噪声。 正如Bennett所指出的(参考文献1)，量化噪声近似于高斯分布，几乎均匀地分布于从DC至 fs /2的奈奎斯特带宽。这里假设量化噪声与输入信号不相关。在某些条件下，当采样时钟和信号通过谐波相关时，量化噪声将与输入信号相关，能量集中在信号的谐波中，但均方 根值仍然约为q/√12。理论信噪比现在可以通过一个满量程输入正弦波来计算：

理想N位转换器的均方根信噪比为

         Bennett论文说明：虽然量化噪声的实际频谱相当复杂，难以分析，但推导出等式9的简化 分析对大多数应用足够准确。然而，必须再次强调，均方根量化噪声是在DC至fs/2的完整 奈奎斯特带宽范围内进行测量。

量化噪声与输入信号之间的相关性容易令人误解

然噪声的均方根值可通过q/√12计算精确近似值，但在某些条件下，频域成分可能与交 流输入信号高度相关。例如，低幅度周期性信号的相关度大于高幅度随机信号的相关度。 通常假设理论量化噪声表现为白噪声，均匀地分布在DC至fs /2的奈奎斯特带宽范围。但 是，事实并非全然如此。在强相关的情况下，量化噪声集中在输入信号的各次谐波上，这 正是我们不希望看到的。 在多数实际应用中，ADC的输入是一段频率(总是会与一些不可避免的系统噪声相加)，因 此量化噪声往往是随机的。然而，在频谱分析应用中(或者使用频谱纯净的正弦波作为输 入对ADC执行FFT)，量化噪声与信号的相关度取决于采样频率与输入信号的比值。 图5的示例说明了这种情况，其中使用一个4096点FFT来分析一个理想12位ADC的输出。 在左边的FFT图(A)中，采样频率(80.000 MSPS)与输入频率(2.000 MHz)的比值恰好选择为 40，最差谐波比基波低大约77 dB。右图(B)显示了将输入频率略微偏移到2.111 MHz的效 果，表现出随机性相对较高的噪声频谱，此时SFDR约为93 dBc，受FFT噪底尖峰限制。两 种情况下，所有噪声成分的均方根值均近似于q/√12(理论SNR因此为74 dB)，但在第一种情 况下，噪声因为相关性而集中在基波谐波上。