【动态规划】代码随想录算法训练营第四十六天 |139.单词拆分，关于多重背包，你该了解这些！ ，背包问题总结篇！（待补充）

139.单词拆分

1、题目链接：. - 力扣（LeetCode）

2、文章讲解：代码随想录

3、题目：

给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

说明：

拆分时可以重复使用字典中的单词。

你可以假设字典中没有重复的单词。

示例 1：

• 输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
• 输出: true
• 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。

示例 2：

• 输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
• 输出: true
• 解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
• 注意你可以重复使用字典中的单词。

示例 3：

• 输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
• 输出: false

4、视频链接：

动态规划之完全背包，你的背包如何装满？| LeetCode：139.单词拆分_哔哩哔哩_bilibili

class Solution {public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];valid[0] = true;for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {for (int j = 0; j < i && !valid[i]; j++) {if (set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]) {valid[i] = true;}}}return valid[s.length()];}
}

// 另一种思路的背包算法
class Solution {public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {boolean[] dp = new boolean[s.length() + 1];dp[0] = true;for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {for (String word : wordDict) {int len = word.length();if (i >= len && dp[i - len] && word.equals(s.substring(i - len, i))) {dp[i] = true;break;}}}return dp[s.length()];}
}

多重背包理论基础

对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？

每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

例如：

背包最大重量为10。

物品为：

	重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2

问背包能背的物品最大价值是多少？

和如下情况有区别么？

	重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

练习题目：卡码网第56题，多重背包(opens new window)

代码如下：

// 超时了
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {int bagWeight,n;cin >> bagWeight >> n;vector<int> weight(n, 0); vector<int> value(n, 0);vector<int> nums(n, 0);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];    for (int i = 0; i < n; i++) {while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开weight.push_back(weight[i]);value.push_back(value[i]);nums[i]--;}}vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品，注意此时的物品数量不是nfor(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}

大家去提交之后，发现这个解法超时了，为什么呢，哪里耗时呢？

耗时就在 这段代码：

for (int i = 0; i < n; i++) {while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开weight.push_back(weight[i]);value.push_back(value[i]);nums[i]--;}
}

如果物品数量很多的话，C++中，这种操作十分费时，主要消耗在vector的动态底层扩容上。（其实这里也可以优化，先把 所有物品数量都计算好，一起申请vector的空间。

这里也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。

代码如下：（详看注释）

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {int bagWeight,n;cin >> bagWeight >> n;vector<int> weight(n, 0);vector<int> value(n, 0);vector<int> nums(n, 0);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);for(int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量// 以上为01背包，然后加一个遍历个数for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);}}}cout << dp[bagWeight] << endl;
}

时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量

从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。

当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。

和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。

#总结

多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。

至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。

背包问题汇总

年前我们已经把背包问题都讲完了，那么现在我们要对背包问题进行总结一番。

背包问题是动态规划里的非常重要的一部分，所以我把背包问题单独总结一下，等动态规划专题更新完之后，我们还会在整体总结一波动态规划。

关于这几种常见的背包，其关系如下：

通过这个图，可以很清晰分清这几种常见背包之间的关系。

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结。

#背包递推公式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：416.分割等和子集(opens new window)
• 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

• 动态规划：494.目标和(opens new window)
• 动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)
• 动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)
• 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

• 动态规划：322.零钱兑换(opens new window)
• 动态规划：279.完全平方数(opens new window)

#遍历顺序

#01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！(opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）(opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

#完全背包

说完01背包，再看看完全背包。

在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！(opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

相关题目如下：

• 求组合数：动态规划：518.零钱兑换II(opens new window)
• 求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ(opens new window)、动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

• 求最小数：动态规划：322. 零钱兑换(opens new window)、动态规划：279.完全平方数(opens new window)

对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。

#总结

这篇背包问题总结篇是对背包问题的高度概括，讲最关键的两部：递推公式和遍历顺序，结合力扣上的题目全都抽象出来了。

而且每一个点，我都给出了对应的力扣题目。

最后如果你想了解多重背包，可以看这篇动态规划：关于多重背包，你该了解这些！(opens new window)，力扣上还没有多重背包的题目，也不是面试考察的重点。

如果把我本篇总结出来的内容都掌握的话，可以说对背包问题理解的就很深刻了，用来对付面试中的背包问题绰绰有余！

背包问题总结：