【NC50937】货仓选址

题目

货仓选址

二分，前缀和，数学推导

思路

由题意可知货仓的位置是可以和商店的位置重合的。首先应该将商店的坐标从小到大排序，然后假设商店的坐标为 $a_i$，货仓的坐标为 $x$，货仓左侧第一家商店（可能和货仓重合）的坐标为 $a_k$，则由题意计算出的距离应该为：
$$dist=\sum _{i=0}^k(x-a_i)+\sum _{i=k+1}^{n-1}(a_i-x)=(k+1)x-\sum _{i=0}^k{a}_i+\sum _{i=k+1}^{n-1}{a}_i-(n-1-k)x$$
根据上面的推导最直观的思路就是枚举从 $a_0\to a_i$ 的所有坐标，然后老老实实地计算每个 $dist$ 取最小值，这种思路需要用到二分，具体见代码。

这里要记录的并不是像上面那样简单模拟的思路，而是更为巧妙一些的：

假设给出的商店坐标（排好序之后）为 $1,2,6,9$
则按上面模拟的思路计算可得：

货仓位置	距离
1	14
2	12
3	12
4	12
5	12
6	12
7	14
8	16
9	18

为什么不枚举小于 $a_0$ 和大于 $a_n$ 的位置呢？这个问题留给读者。
由上面的表格可以得出，似乎越往商店的中部位置靠近，距离就越短。
不妨直接研究中部的商店，这里的商店数是偶数个，则研究中间的两个商店，我们会得到一个有趣的结论：
在中部的两个商店之间建立货仓的话，各商店到货仓的距离是不变的，并且距离为两两对称的商店之间的距离之和，比如例子里面的距离就是 $6-2+9-1=12$。
所以这题可以直接求两两对称商店的距离之差的和即可，奇数个商店数就将货仓建立在最中间的商店处即可。具体的证明这里不做记录，但是是很容易想通的。

代码

代码一：二分模拟

#include <limits.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef long long LL;int cmp(const void* a, const void* b) { return *(int*)a - *(int*)b; }// 寻找第一个小于等于 target 的元素的下标，没有则返回 -1
int first_le(int* arr, int n, int target) {int l = 0, r = n - 1, mid = 0;while (l <= r) {mid = l + ((r - l) >> 1);if (arr[mid] <= target) {if (mid == n - 1 || arr[mid + 1] > target) {return mid;}l = mid + 1;} else {r = mid - 1;}}return -1;
}int main(void) {int n = 0;scanf("%d", &n);int a[n], i = 0;for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", a + i);}qsort(a, n, sizeof(int), cmp);LL sum[n], ans = LLONG_MAX, t = 0;sum[0] = a[0];for (i = 1; i < n; i++) {sum[i] = sum[i - 1] + a[i];}for (LL x = a[0]; x <= a[n - 1]; x++) {i = first_le(a, n, x);t = (i + 1) * x - sum[i] + sum[n - 1] - sum[i] - (n - 1 - i) * x;if (t < ans) ans = t;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

代码二：数学推导

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>#define N 1000005typedef long long LL;int cmp(const void* a, const void* b) { return *(int*)a - *(int*)b; }int main(void) {int n = 0;scanf("%d", &n);int a[n], i = 0;LL ans = 0;for (i = 0; i < n; i++) {scanf("%d", a + i);}qsort(a, n, sizeof(int), cmp);for (i = n >> 1; i < n; i++) {ans += a[i] - a[n - i - 1];}printf("%lld\n", ans);return 0;
}