Lecture 2~4 About Filter

+ 空间域上的滤波器

图像滤波：计算每个位置的局部邻域的函数
compute function of local neighborhood at each position

- 线性滤波器

盒状滤波器Box Filter

使用盒状滤波器将每个像素替换成其邻域的平均值，达到平滑效果，去除尖锐特征

锐化Sharpening

突出与邻域平均值的差异

相关运算 vs. 卷积运算 Correlation vs. Convolution

- 非线性滤波器

高斯滤波器Gaussian filter

高斯滤波器平滑：从图像中去除高频分量
此可以使用小宽度的核进行平滑，重复，并得到与大宽度核相同的结果

高斯滤波器的可分解性

可以分解成两个一维的滤波操作，能降低计算成本，优化内存使用，不需要存储整个二维滤波器的数据；同时，可以在一维滤波器的基础上实现更复杂的滤波操作，如果需要调整高斯滤波器的标准差，只需要重新计算一维高斯核函数并应用到图像的行和列上而不需要重新生成二维滤波器；最后可以利用一维卷积的性质进行算法优化，比如利用FFT来加速一维卷积操作。

- 实际问题

滤波器该设置成多大？

根据高斯分布的经验法则：将核半宽度设置为≥3σ
边缘的值应该接近零；

高斯滤波器的效果主要受到高斯核的宽度（或标准差）的影响。高斯函数在中心附近具有较高的值，并且随着距离中心的增加而逐渐减小。因此，增加核的半宽度可以确保在滤波过程中更多地考虑到图像中的局部信息，并且可以提供更平滑的滤波效果。

图像的边缘怎么处理？

进行边界填充：

• 周围补一圈0
• 形成环状
• 像素拉伸
• 镜像处理

- 纹理texture

凸起、凹槽 和/或 标记造成的规则或随机图案

可以通过计算斑点和边缘在不同方向和尺度下的响应来表示纹理

过度完全表示：滤波器组

+ 频域上的滤波器

频域分析的好处：可以很容易地去除某个频率的噪声，增强高频信号的系数可以提高图像的对比度，增强细节。

• 频谱可视化：频域分析可以将信号或图像转换到频域，使得信号的频谱特征变得直观可见。这有助于理解信号或图像中不同频率分量的贡献，以及它们在频率上的分布情况；
• 滤波和去噪：在频域中，可以方便地进行滤波操作。例如，通过将频域表示的信号与滤波器的频域响应进行乘法操作，可以很容易地实现滤波。这种方式可以用来进行陷波、带通、带阻等滤波操作，以及去除噪声；
• 解决交叠问题： 在时域中，不同信号可能会发生重叠，导致难以分辨。而在频域中，这些信号的频谱通常会有所区别，因此可以更容易地分辨和识别。

混叠问题

在信号采样或图像采集过程中可能出现的问题，其形成的原因主要是采样频率过低，还有就是当信号的频率高于采样频率的一半（奈奎斯特频率）时，信号的高频分量会“折叠”到采样频率范围内，导致无法区分原始信号的频率和折叠频率，从而产生混叠问题。

奈奎斯特-香农采样定理
当以离散间隔对信号进行采样时，采样频率必
须为≥2 × fmax
fmax = 输入信号的最大频率

解决方案

• 更高频率的采样 （这个成本高，难办到）
• 去掉所有大于新采样频率一半的频率
  – 会丢失信息
  – 比混叠好
  – 应用平滑滤波器

+ 滤波的应用

- 模板匹配

两个图块之间的相似度或距离度量

• 相关
• 零均值相关
• 平方和差SSD
• 归一化互相关

- 图像金字塔