计算机组成原理【CO】Ch2 数据的表示和应用

大纲

2.1 数制与编码

• 王道书和大学教材讲到原码、补码时，使用了数学化的语言来讲解，不用过于深究，不是重点。计组这门课在考试中只考察应用，不考数学原理。对补码的数学原理感兴趣的同学，可以研究《数论》。
• 这个小节学起来难，但做起题来不算难。不建议反复死磕视频和王道书，可以先学一遍，然后直接做题，用“做题驱动复习”。

2.2 运算方法和运算电路

• 本节内容较多，一天的时间可能学不完。建议大家按照“伴学营打卡表”推荐的顺序做题，学一部分，做几道题。不建议一口气全部看完再去做题，那样一定消化不了。
• 对于没学过《数字电路》的同学，串行加法器、并行加法器的底层原理一定很难理解。不过没关系，考试不可能考太底层的电路设计。
• 带标志位的加法器是考试重点，也是经常结合第四章考察的重点，需要认真理解。OF、SF、ZF、CF 标志位的生成和作用一定要掌握。
• 乘法、除法的原理细节不容易理解，但考察频率较低，第一次学如果觉得难，也不建议花太多时间。只需要先建立起这个认知：在计算机硬件层面，无论是乘法还是除法，都是通过 加法、减法、移位运算 来实现的。
• C语言中各种数据类型的存储和相互转换、数据的存储和排列，这两部分内容很重要，经常结合大题考察，需认真理解。

2.3 浮点数的表示和运算

• 本节又是一块硬骨头，没什么好说的，学吧。第一次学难免让人怀疑人生，保持平常心尽力去学尽力去做题就好。第一次学习不建议死磕细节，得配合做题来体会这个部分怎么考，用“做题驱动复习”。
• 但很多同学的反馈是：“第一次学感觉很复杂，但第二轮回来复习感觉也没那么难”。原因是，本节内容虽难，但在经过做题训练之后，大家都会更清晰的认识到 “哪些地方是考试重点”、““哪些地方应该是我重点关注的”。

【※】带标志加法器

OF

• 有符号数的加减运算是否发生了溢出。
• OF=1时，说明发生了溢出
• OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位
• OF位对无符号数的加减法无意义

SF

• 有符号数加减运算结果的正负性。
• SF=0表示运算结果为正数，SF=1表示运算结果为负数
• SF = 最高位的本位和（也是结果的最高位）
• SF位对无符号数的加减法无意义

ZF

• 表示运算结果是否为0。
• ZF=1表示运算结果为0，ZF=0表示运算结果非0
• 两个数的运算结果为n bit，只有n bit全为0时，ZF =1
• 对有符号、无符号都有意义

CF

• 进位、借位标志

• 表示无符号数的加减法是否发生了进位或借位

• 当CF=1时，说明无符号数的加减法发生了进位或借位，即发生了溢出

• CF=最高位产生的进位⊕sub

  • sub=1，表示减法
  • sub=0，表示加法

• CF位对有符号数的加减法无意义

• 有符号数的加减运算是否发生了溢出。

• OF=1时，说明发生了溢出

• OF=最高位产生的进位 ⊕ 次高位产生的进位

• OF位对无符号数的加减法无意义
  

计算机怎么区分有符号数无符号数?

• 标志位会保存在PSW，ALU无法区分有符号数和无符号数，但由于计算机分为无符号加法和有符号加法。指令不同，执行时安排的微操作不同，从而区分有符号数和无符号数。

【※】存储排列和数据类型转换

数据类型大小

• char：1B
• short：2B
• int：4B
• float：4B
• long：4B
• double：8B

Tips:

• C语言中定点整数是用补码存储的

数据类型转换

整数之间转换（带符号和无符号之间）

• 长度相同
  • 机器数不变，解释方式改变
• 短变长
  • 先扩展：
    • 无符号数补0
    • 有符号数补符号
  • 再解释
• 长变短
  • 直接截断，只留下低位
  • 再解释

整数与浮点数之间的转换

• 整数转浮点数：
  • 先转换为2进制，写出科学记数法1.xxxx，再转为浮点数，截断尾部采用0舍1入的原则
  • ⚠️可能精度丢失
• 浮点数转整数：
  • 写出二进制小数，去掉小数部分，整数部分保留更低的位数
  • ⚠️可能溢出、精度丢失

进位计数制

进制转换

• 二进制 <-> 八进制：每3个二进制位对应一个八进制位
• 二进制 <-> 十六进制：每4个二进制位对应一个十六进制位
  • 【PS：整数部分前面补0，小数部分后面补0】
• 十进制 -> 进制
  • 整数部分:除基取余法，先取得的“余”是整数的低位
  • 小数部分:乘基取整法，先取得的“整”是小数的高位

2的次幂

次幂	2的次幂
-4	0.0625
-3	0.125
-2	0.25
-1	0.5
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

各种码的基本特性

无符号整数的表示和运算

• 加法
• 全部位按位相加
• 减法
• $x-y=x+[-y]$
• $[-y$]是$[y]$从右往左第一个1的左边全部取反
• 溢出
• 手算：判断加减法的结果是否超出无符号数合法表示范围
• 机算：$CF=最高位进位\oplus Sub$

带符号整数的表示和运算

Tips：
• 计算机内部，所有带符号整数的加减法都要先转换为补码

计算机硬件如何做带符号数补码的加法:
• 从最低位开始，所有位按位相加（符号位参与运算），并往更高位进位

计算机硬件如何做带符号数补码的减法:
• "被减数”不变，“减数”从右往左找到第一个1，这个1左边的全部位按位取反减法变加法

有符号数：
• 加法
• 按位相加
• 减法
•$[x{]}_{补}-[y{]}_{补}=[x{]}_{补}+[-y{]}_{补}$
• $[-y{]}_{补}是[y{]}_{补}$ 从右往左第一个1的左边全部位按位取反
• 溢出
• 手算：判断加减法的结果是否超出有符号数合法表示范围
• 机算：$OF=最高位进位\oplus 次高位进位$

码之间的转换

• [x]_移→[−x]_移：全部位按位取反，末位+1
• 使用补码表示时，若符号位相同，则数值位越大，码值越大

$[x{]}_{原}\to [x{]}_{反}？$
• 正数：不变
• 负数：符号位不变，数值位按位取反
$[x{]}_{原}\leftrightarrow [x{]}_{补}？$
• 正数：不变
• 负数：符号位不变，从右往左找到第一个“1”，这个1左边的所有“数值位”按位取反
$[x{]}_{补}\leftrightarrow [-x{]}_{补}？$
• 从右往左找到第一个“1”，这个1左边的全部位按位取反
$[x{]}_{补}\leftrightarrow [x{]}_{移}？$
• 符号位取反

如何用补码快速计算真值：
- 直接在补码前面加上负号，再计算值
○ Eg：$[1110{]}_{补}=-2^3+2^2+2=-2$
- 遇到一大串的1，将其看作符号位，直接化为最简，再用上述方法
○ Eg：$[11111110{]}_{补}=[10{]}_{补}=-2$

如何快速求真值的补码：
eg：$-8190=-8192+2=[1110,0000,0000,0010{]}_{补}=E002H$

移位运算

算数移位【针对有符号数】

• 左移1位相当于乘基数；右移1位相当于除基数，但由于位数有限，所以有时候算数移位并不能完全等效于乘除运算。
• 是针对有符号数：符号位保持不变。
  • 正数：原码、反码、补码，无论左移还是右移都是补0
  • 负数：
    • 原码左移、右移都补0
    • 反码左移和右移都补1
    • 补码左移补0，右移补1
• 若采用双符号位来表示数，则最高符号位永远是真正的符号位，因此在算术移位时只有高符号位保留不变，低符号位要参与移位

逻辑移位【针对无符号数】

• 针对无符号数。符号位参与，左移、右移都补0，移出的位舍弃

循环移位

• 不带进位位
  • 用移出的位补上空缺
• 带进位位
  • 移出的位放到进位位，原进位位补上空缺

乘除运算

无符号整数

• 逻辑左移代替*2
• 溢出判断：
  • n位乘n位，若用2n位保存乘积，则不会溢出
  • n位乘n位，若用2n位保存中间结果，最后截取末尾n位作为最终的乘积，则可能溢出
    • 当且仅当2n的前n位都是0时才不会溢出

有符号数

• 算术左移代替*2
• 溢出判断：
  • n位乘n位，若用2n位保存乘积，则不会溢出
  • n位乘n位，若用2n位保存中间结果，最后截取末尾n位作为最终的乘积，则可能溢出
    • 当且仅当2n的前n+1位是全0或全1时才不会溢出

【※】IEEE754

IEEE754浮点数与真值相互转化

由浮点数确定真值(阶码不是全0、也不是全1) :

• 划分“某浮点数”，确定数符、阶码、尾数的分布
• 确定尾数1.M(注意补充最高的隐含位1)
• 确定$阶码的真值=移码-偏置值$ (可将移码看作无符号数，用无符号数的值减去偏置值)
• $(-1{)}^s\times 1.M\times 2^{(E-偏置值)}$

浮点数的加减运算

对阶

• 目的：使两个操作数的小数点位置对齐
• 对阶操作只把较小的阶码调整到较大的阶码【所以不会引起阶码的上溢或下溢】
• 阶码增大，尾数右移
• 无阶码减小的情况【因为只用小阶向大阶对齐】

尾数求和

• 原码定点数的加减法

规格化

• 尾数规格化为1.xxxx的形式

舍入

• 舍入是浮点数概念，定点数无舍入
• 浮点数舍入的情况：对阶或者右规格化
• 舍入不一定产生误差（后几位为0时不产生误差）

溢出

• 尾数右规，阶码上溢，发生溢出异常
• 尾数左规，阶码下溢，当机器0处理
• 如果双符号位为01或10时，则溢出【第一个符号是真的符号】
  • 10：正溢
  • 01：负溢
• 尾数舍入可能引起阶码的上溢
• 尾数溢出时，结果不一定溢出
  

C强制类型转换

• 无损：
  • char→int→long→double
  • float→double
• 有损：
  • int→float【可能会损失精度，float 的尾数数值位只有1+23位】
  • float→int 【可能会溢出，也可能会损失精度，如小数转整数】

浮点数的规格化

• 规格化：规定尾数的最高数位必须是一个有效值(1)【即，基数为2时，要求尾数：$1/2\le |M|<1$】
• 采用规格化浮点数的目的是为了增加数据的表示精度
• 负数补码的最高数值位是0，就是一个规定，不用纠结为什么
• 补码表示的最高位与尾数的符号位不同时，表示规格化了