二分查找的边界问题是怎么产生的？

总结：二分查找的目标有两个，一个是左区件的右边界，一个是右区间的左边界

如何去理解二分的过程？

如果要查找的是左区间的右边界：

可以将[l, r]理解一个集合，这个集合范围内的数都有可能是最后需要得到的目标值–左区间的右边界这个点

每次要做的事情就是去缩小（更新）这个集合，最终使得集合里只有一个元素，那个元素就是目标值

每一次用mid去找集合的中点，有一个大前提：结合的结构[需要的值的集合|不需要的值的集合]

为了方便理解这个集合，我们可以理解为假设你有一个飞镖（也就是mid），有一个靶子（就是这个数组），靶子有内环（边界点所在的区间或者说集合）和外环（我们要找的集合的补集），靶子有一个中心点（内环的边界，也就是需要找到左区间的右边界）。

mid的位置有两种情况：落在左区间里或者落在右区间里

• 如果落在了左区间，相当与告诉你了一个信息：从这个地方包括这个地方（mid所在的索引）往后（[mid, r]），可能会发现右边界。与之对应的信息是右边界绝对不在mid左边的集合内（[l, mid-1]），所以左边的集合([l, mid-1])就可以被删掉了，要实现这个操作只需要让下一次判断的集合是[mid, r]就i可以了，等价于l=mid
• 如果落在了右区间，相当于告诉了你：这个点往右（包括这个点）都不是我要的区间，需要被删掉。那就直接令l = mid-1，删除集合中绝对不是答案的那一坨，也就是右边那一坨
• 这样不断的往复删除确定的无用集合，最后就可以得到一个目标集合。

对于查找到是右区间的左边界也是一个原理。

mid的计算是左偏还是右偏怎么去判断？

关于mid的计算方式mid=i+j >> 1还是(mid=i+j>>1) + 1，个人有一种比较好理解的方法：

同样分两种情况：

1. 找左区间右边界
2. 找右区间左边界

左区间右边界

• 首先要明白产生边界问题的原因在哪里

奇数个集合的时候，对于两者mid都是指向中间元素，但是如果集合个数是偶数，他们的中点是谁？很显然，两者都不是中点（1 中点是我 2中的那是1和2中间的文字吧）。

所以要么去文字左边的1为中点，要么取文字右边的2为中点。这样一来这个中点其实就不是真正意义上的中点了。

首先说结论，取右边界需要右偏，我们来分析一下：

对于集合很大的时候，是没有问题的，边界问题只会发生在集合很小的时候，所以只有拿出一个很小的集合，一个快被处理结束的集合，才能够知道为啥左偏会进入死循环，为啥不能用它这个问题。

所以直接去分析两个元素时有哪些情况：(O表示的是左区间右边界所在的集合，X表示待删除的集合)

• [O, O]
• [X, X]
• [O, X]
• [X, O]

其中，[X, O]这种情况不可能存在，因为左区间的相对顺序一定在左边

左边界l是指向第一个元素的，右边界r是指向第二个元素的

mid如果找到目标元素并不会剔除，并不会缩小范围，所以这个时候想要缩小范围就需要mid起作用了

对于[O, O]二分查找如果左偏会去看第一个元素，包含它，这没什么问题，只要我们的mid下一次去往右看就行了，但是问题就在于下一次mid看左边还是看右边是和左偏绑定在一起的，所以如果左偏，下一次mid还会看左边，如果右偏下一次mid还会看右边，但是我们需要看右边啊！所以只能够右偏了，这样遇到这种情况mid也能继续向右看去。

同样的对于右区间左边界的判断也是如此

• [O, O]

其实说白了就是，两个元素时，找右边界时遇到需要的元素l会直接落在mid上进行更新。

找左边界时, 遇到需要的元素，r会直接落在mid上进行更新，为了防止更新后继续重合。

• 找右边界，mid下一次查找只能偏右更新，避开l防止死掉

• 找左边界，mid下一次查找就只能偏左更新，避开r防止死掉