【蓝桥杯集训·每日一题】AcWing 4074. 铁路与公路

一、题目

1、原题链接

4074. 铁路与公路

2、题目描述

某国家有 n 个城市（编号 1∼n）和 m 条双向铁路。

每条铁路连接两个不同的城市，没有两条铁路连接同一对城市。

除了铁路以外，该国家还有公路。

对于每对不同的城市 x,y，当且仅当它们之间没有铁路时，它们之间会存在一条双向公路。

经过每条铁路或公路都需要花费 1 小时的时间。

现在有一列火车和一辆汽车同时离开城市 1，它们的目的地都是城市 n。

它们不会在途中停靠（但是可以在城市 n 停靠）。

火车只能沿铁路行驶，汽车只能沿公路行驶。

请你为它们规划行进路线，每条路线中可重复经过同一条铁路或公路，但是为了避免发生事故，火车和汽车不得同时到达同一个城市（城市 n 除外）。

请问，在这些条件的约束下，两辆车全部到达城市 n 所需的最少小时数，即求更慢到达城市 n 的那辆车所需的时间的最小值。

注意，两辆车允许但不必要同时到达城市 n。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u,v，表示城市 u 和城市 v 之间存在一条铁路。

输出格式

一个整数，表示所需的最少小时数。

如果至少有一辆车无法到达城市 n，则输出 −1。

数据范围

前 6 个测试点满足 2≤n≤10，0≤m≤10。
所有测试点满足 2≤n≤400，0≤m≤n(n−1)/2，1≤u,v≤n。

输入样例1：

4 2
1 3
3 4

输出样例1：

2

输入样例2：

4 6
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

输出样例2：

-1

输入样例3：

5 5
4 2
3 5
4 5
5 1
1 2

输出样例3：

3

二、解题报告

1、思路分析

思路来源：y总讲解视频
y总yyds

（1）如果从城市1到城市n之间有铁路，则从城市1到城市n，火车会直接到达城市n，而汽车会走公路经过某些城市然后再到达城市n，所以火车和汽车必然不会在城市1~n（除城市1和城市n）中的任意一座城市停留。
（2）同理，如果从城市1到城市n之间有公路，汽车和火车也必然不会在城市1~n（除城市1和城市n）中的任意一座城市停留。
（3）综上，任何情况下火车和汽车从城市1到达城市n，如果可以到达，则在路径之中必然不会同时在1~n（除城市1和城市n）中的某一座城市停留。
（4）所以，题目中的约束条件始终无法满足，我们只需要求出火车和汽车分别到达城市n的最短时间，然后取最大者即可。

2、时间复杂度

Floyd算法时间复杂度为O(n³)
Spfa算法时间复杂度为O(nm)

3、代码详解

Floyd算法求解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=410;
int n,m;
int f[N][N],g[N][N];    //f[i][j]存储从i城市到j城市走铁路的花费时间，如果不存在铁路则为正无穷；g[i][j]存储公路的，同理
//floyd算法求最短路
int floyd(int d[][N]){if(d[1][n]==1) return 1;     //如果城市1到城市n存在一条公路/铁路,花费时间为1，直接返回即可for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}return d[1][n];
}
int main(){cin>>n>>m;memset(f,0x3f,sizeof f);memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int u,v;cin>>u>>v;f[u][v]=f[v][u]=1;    //无向边存两个方向}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i!=j&&f[i][j]!=1){    //如果不是自环，而且i和j之间没有铁路的话，i和j之间存在一条公路g[i][j]=1;}}}int ans=max(floyd(f),floyd(g));       //时间取两者时间的最大值if(ans==0x3f3f3f3f) cout<<-1;         //如果从城市1到城市n的时间为正无穷，说明无法从城市1到达城市nelse cout<<ans;return 0;
}

Spfa算法求解

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N=410,M=160010;
int h1[N],h2[N],e[M],ne[M],idx;   //h1[]存储每条铁路（边），h2[]存储每条公路（边），e[]存储每条边的终点，ne[]存储每条边同起点的下一条边，idx为边的编号
bool g[N][N];       //g[i][j]存储i和j之间是否存在铁路
int n,m;
bool st[N];        //st[i]存储第i个点的最短距离是否被松弛更新过
int dist[N];      //dist[i]存储从城市1到城市i的最小花费时间
//邻接表加边
void add(int h[],int a,int b){e[idx]=b;ne[idx]=h[a];h[a]=idx++;
}
//spfa算法求最短路
int spfa(int h[],bool flag){    //flag=false表示走铁路,flag=true表示走公路//如果走铁路，而且城市1和城市n之间有铁路或者如果走公路，而且城市1和城市n之间有公路，直接返回最小时间花费1即可if(!flag&&g[1][n]||flag&&!g[1][n]) return 1;memset(dist,0x3f,sizeof dist);queue<int> q;q.push(1);st[1]=true;dist[1]=0;while(!q.empty()){int t=q.front();q.pop();st[t]=false;for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(dist[j]>dist[t]+1){dist[j]=dist[t]+1;if(!st[j]){st[j]=true;q.push(j);}    }}}return dist[n];
}
int main(){cin>>n>>m;memset(h1,-1,sizeof h1);memset(h2,-1,sizeof h2);while(m--){int u,v;cin>>u>>v;add(h1,u,v),add(h1,v,u);    //无向边，添加两次g[u][v]=g[v][u]=true;       //标记u，v两点间有铁路}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(!g[i][j]){          //如果i,j之间没有铁路，则为i，j之间添加一条无向公路add(h2,i,j),add(h2,j,i);}}}int ans=max(spfa(h1,false),spfa(h2,true));    //取两者时间最大值即可if(ans==0x3f3f3f3f) cout<<-1;                 //如果无解，输出-1即可else cout<<ans;return 0;
}

三、知识风暴

Floyd 算法

• 基本思想：基于动态规划，首先记录两点之间无其他中间点的最短距离，然后在其中加入中间点之后，如果加入中间点之后，两点之间的最短距离更短，则更新，按上述流程，遍历完所有可能路径，算法结束。

Spfa 算法

• 参考我的这篇文章即可