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偏微分方程算法之混合边界条件下的差分法

目录

一、研究目标

二、理论推导

三、算例实现

四、结论


一、研究目标

        我们在前几节中介绍了Poisson方程的边值问题,接下来对椭圆型偏微分方程的混合边值问题进行探讨,研究对象为:

\left\{\begin{matrix} -(\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}})=f(x,y),(x,y)\in\Omega,\space\space(1)\\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial \mathbf{n}}+\lambda(x,y)u=\mu(x,y),(x,y)\in\partial \Omega=\Gamma \end{matrix}\right.

其中,\Omega为矩形区域\Omega=[(x,y)|a\leqslant x\leqslant b,c\leqslant y\leqslant d]f(x,y)\Omega上的连续函数,\mathit{\mathbf{n}}\Gamma上的单位法向量,从而\frac{\partial u(x,y)}{\partial\mathbf{n}}表示方向导数,\lambda(x,y),\mu(x,y)\Gamma的连续函数且\lambda(x,y)非负。对于矩形区域\Omega而言,其边界上的法向量没有统一的表达式,需要对四条边界线段分别讨论。可见:

        在左边界\mathbf{n}_{1}=(-1,0),边界条件为(-\frac{\partial u}{\partial x}+\lambda(x,y)u)|_{(a,y)}=\mu_{1}(a,y)

        在右边界\mathbf{n}_{2}=(1,0),边界条件为(\frac{\partial u}{\partial x}+\lambda(x,y)u)|_{(b,y)}=\mu_{2}(b,y)

        在下边界\mathbf{n}_{3}=(0,-1),边界条件为(-\frac{\partial u}{\partial y}+\lambda(x,y)u)|_{(x,c)}=\mu_{3}(x,c)

        在上边界\mathbf{n}_{4}=(0,1),边界条件为(\frac{\partial u}{\partial y}+\lambda(x,y)u)|_{(x,d)}=\mu_{4}(x,d)

        于是,公式(1)可以具体写为:

\left\{\begin{matrix} -(\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}})=f(x,y),(x,y)\in(a,b)\times (c,d),\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-\lambda(x,y)u)|_{(a,y)}=\varphi_{1}(y),c\leqslant y\leqslant d,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+\lambda(x,y)u)|_{(b,y)}=\varphi_{2}(y),c\leqslant y\leqslant d,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}-\lambda(x,y)u)|_{(x,c)}=\Psi_{1}(x),a\leqslant x\leqslant b,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial y})+\lambda(x,y)u)|_{(x,d)},\Psi_{2}(x),a\leqslant x\leqslant b \end{matrix}\right.

二、理论推导

        首先进行矩形区域\Omega的等距剖分,得到各网格节点(x_{i},y_{j}),且x_{i}=a+i\cdot\Delta x,i=0,1,\cdot\cdot\cdot,m\Delta x=(b-a)/my_{j}=c+j\cdot\Delta y,j=0,1,\cdot\cdot\cdot,n\Delta y=(c-d)/n。然后弱化原方程,使其仅在离散节点上成立,从而有

\left\{\begin{matrix} -(\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}})|_{(x_{i},y_{j})}=f(x_{i},y_{j}),1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\leqslant n-1,\\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}|_{(x_{0},y_{j})}-\lambda(x_{0},y_{j})u(x_{0},y_{j})=\varphi_{1}(y_{j}),0\leqslant j\leqslant n, \\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}|_{(x_{m},y_{j})}+\lambda(x_{m},y_{j})u(x_{m},y_{j})=\varphi_{2}(y_{j}),0\leqslant j\leqslant n, \\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}|_{(x_{i},y_{0})}-\lambda(x_{i},y_{0})u(x_{i},y_{0})=\Psi_{1}(x_{i}),0\leqslant i\leqslant m, \\ \frac{\partial u(x,y)}{\partial y}|_{(x_{i},y_{n})}+\lambda(x_{i},y_{n})u(x_{i},y_{n})=\Psi_{2}(x_{i}),0\leqslant i\leqslant m. \end{matrix}\right.

        将上式中的一阶、二阶偏导数分别用关于一阶导数的中心差商和关于二阶导数的中心差商来近似,得

\left\{\begin{matrix} -(\frac{u(x_{i-1},y_{j})-2u(x_{i},y_{j})+u(x_{i+1},y_{j})}{\Delta x^{2}}+\frac{u(x_{i},y_{j-1})-2u(x_{i},y_{j})+u(x_{i},y_{j+1})}{\Delta y^{2}})\\ =f(x_{i},y_{j})+O(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}),1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\leqslant n-1,\\ \frac{u(x_{1},y_{j})-u(x_{-1},y_{j})}{2\Delta x}-\lambda(x_{0},y_{j})u(x_{0},y_{j})=\varphi_{1}(y_{j})+O(\Delta x^{2}),0\leqslant j\leqslant n,\\ \frac{u(x_{m+1},y_{j})-u(x_{m-1},y_{j})}{2\Delta x}+\lambda(x_{m},y_{j})u(x_{m},y_{j})=\varphi(y_{j})+O(\Delta x^{2}),0\leqslant j\leqslant n,\\ \frac{u(x_{i},y_{1})-u(x_{i},y_{-1})}{2\Delta y}-\lambda(x_{i},y_{0})u(x_{i},y_{0})=\Psi_{1}(x_{i})+O(\Delta y^{2}),0\leqslant i\leqslant m,\\ \frac{u(x_{i},y_{n+1})-u(x_{i},y_{n-1})}{2\Delta y}+\lambda(x_{i},y_{n})u(x_{i},y_{n})=\Psi_{2}(x_{i})+O(\Delta y^{2}),0\leqslant i\leqslant m. \end{matrix}\right.

        用数值解代替精确解并忽略高阶项,得到以下数值格式:

\left\{\begin{matrix} -(\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta x^{2}}+\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^{2}})=f_{i,j},1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\geqslant n-1,\\ u_{1,j}-u_{-1,j}=2\Delta x(\varphi_{1}(y_{j})+\lambda_{0,j}u_{0,j}),0\leqslant j\leqslant n,\\ u_{m+1,j}-u_{m-1,j}=2\Delta x(\varphi_{2}(y_{j})-\lambda_{m,j}u_{m,j}),0\leqslant j\leqslant n,\\ u_{i,1}-u_{i,-1}=2\Delta y(\Psi_{1}(x_{i})+\lambda_{i,0}u_{i,0}),0\leqslant i\leqslant m,\\ u_{i,n+1}-u_{i,n-1}=2\Delta y(\Psi_{2}(x_{i})-\lambda_{i,n}u_{i,n}),0\leqslant i\leqslant m. \end{matrix}\right.(2)

其中,\lambda_{i,j}=\lambda(x_{i},y_{j}),f_{i,j}=f(x_{i},y_{j})。该格式的局部截断误差为O(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}),同时需要处理其中的下标越界问题。由于函数的连续性,我们认为公式(2)中的第1式对i=0也成立,即有

-(\frac{u_{-1,j}-2u_{0,j}+u_{1,j}}{\Delta x^{2}}+\frac{u_{0,j-1}-2u_{0,j}+u_{0,j+1}}{\Delta y^{2}})=f_{i,j},1\leqslant j\leqslant n-1

        再成公式(2)的第2式中解出u_{-1,j}=u_{1,j}-2\Delta x(\varphi_{1}(y_{j})+\lambda_{0,j}u_{0,j})代入上式,得

-\frac{2u_{1,j}-2(1+\Delta x\lambda_{0,j})u_{0,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{0,j-1}-2u_{0,j}+u_{0,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{i,j}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1

同样,设公式(2)中的第1式分别对i=m,j=0,j=n成立,再分别从公式(2)的第3、4、5式中解出u_{m+1,j},u_{i,-1},u_{i,n+1}代入前面刚得到的方程,就可以处理掉越界下标,得到以下格式:

\left\{\begin{matrix} -\frac{u_{i-1,j}-2u_{i,j}+u_{i+1,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{i,j-1}-2u_{i,j}+u_{i,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{i,j},1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{2u_{1,j}-2(1+\Delta x\lambda_{0,j})u_{0,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{0,j-1}-2u_{0,j}+u_{0,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{0,j}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{2u_{m-1,j}-2(1+\Delta x\lambda_{m,j})u_{m,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{m,j-1}-2u_{m,j}+u_{m,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{m,j}+\frac{2}{\Delta x}\varphi_{2}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{u_{i-1,0}-2u_{i,0}+u_{i+1,0}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{i,1}-2(1+\Delta y\lambda_{i,0})u_{i,0}}{\Delta y^{2}}=f_{i,0}-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1,\\ -\frac{u_{i-1,n}-2u_{i,n}+u_{i+1,n}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{i,n-1}-2(1+\Delta y\lambda_{i,n})u_{i,n}}{\Delta y^{2}}=f_{i,n}+\frac{2}{\Delta y}\Psi_{2}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1 \end{matrix}\right.

        至此我们共有(m+1)x(n+1)个待求量u_{i,j},0\leqslant i\leqslant m,0\leqslant j\leqslant n,而现有(m-1)x(n-1)个关于内节点的方程,2(n-1)个关于左、右边界上的节点(不含端点)的方程及2(m-1)个关于上、下边界上的节点(也不含端点)的方程,还需要补充

(m+1)(n+1)-(m-1)(n-1)-2(n-1)-2(m-1)=4

个方程,也就是关于矩形区域的4个顶点的方程。为此,设公式(2)中第1式对i=0,j=0成立,即

-\frac{u_{-1,0}-2u_{0,0}+u_{1,0}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{0,-1}-2u_{0,0}+u_{0,1}}{\Delta y^{2}}=f_{0,0} \; (3)

        然后再从公式(2)的第2式和第4式中分别解出u_{-1,0}=u_{1,0}-2\Delta x(\varphi_{1}(y_{0})+\lambda_{0,0}u_{0,0})u_{0,-1}=u_{0,1}-2\Delta y(\Psi_{1}(x_{0})+\lambda_{0,0}u_{0,0}),代入公式(3)中,得到\Omega左下顶点处的方程:

-\frac{2u_{1,0}-2(1+\Delta x\lambda_{0,0})u_{0,0}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{0,1}-2(1+\Delta y\lambda_{0,0})u_{0,0}}{\Delta y^{2}}=f_{0,0}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{0})-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{0})

上式可以简化为

-\frac{2u_{1,0}}{\Delta x^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{0,0})}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y\lambda_{0,0})}{\Delta y^{2}}]u_{0,0}-\frac{2u_{0,1}}{\Delta y^{2}}=f_{0,0}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{0})-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{0})

        同样,设公式(2)中第1式分别对i=m,j=0i=0,j=ni=m,j=n成立,然后再从公式(2)中第3式和第4式解出u_{m+1,0},u_{m,-1},u_{-1,n},u_{0,n+1},u_{m+1,n},u_{m,n+1}分别代入刚才得到的3个方程,就得到\Omega的右下顶点、左上顶点、和右上顶点处的方程,这样,我们就有了完整的处理带导数边界条件的椭圆型方程的数值格式:

\left\{\begin{matrix} -\frac{u_{i,j-1}}{\Delta y^{2}}-\frac{u_{i-1,j}}{\Delta x^{2}}+2[\frac{1}{\Delta x^{2}}+\frac{1}{\Delta y^{2}}]u_{i,j}-\frac{u_{i+1,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{i,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{i,j},1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{u_{0,j-1}}{\Delta y^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{0,j})}{\Delta x^{2}}+\frac{2}{\Delta y^{2}}]u_{0,j}-\frac{2u_{1,j}}{\Delta x^{2}}-\frac{u_{0,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{0,j}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{u_{m,j-1}}{\Delta y^{2}}-\frac{2u_{m-1,j}}{\Delta x^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{m,j})}{\Delta x^{2}}+\frac{2}{\Delta y^{2}}]u_{m,j}-\frac{u_{m,j+1}}{\Delta y^{2}}=f_{m,j}+\frac{2}{\Delta x}\varphi_{2}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\frac{u_{i-1,0}}{\Delta x^{2}}+[\frac{2}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y\lambda_{i,0})}{\Delta y^{2}}]u_{i,0}-\frac{u_{i+1,0}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{i,1}}{\Delta y^{2}}=f_{i,0}-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1,\\ -\frac{u_{i-1,n}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{i,n-1}}{\Delta y^{2}}+[\frac{2}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y\lambda_{i,n})}{\Delta y^{2}}]u_{i,n-\frac{u_{i+1,n}}{\Delta x^{2}}}=f_{i,n}+\frac{2}{\Delta y}\Psi_{2}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1,\\ [\frac{2(1+\Delta x\lambda_{0,0})}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y \lambda_{0,0})}{\Delta y^{2}}]u_{0,0}-\frac{2u_{1,0}}{\Delta x^{2}}-\frac{2u_{0,1}}{\Delta y^{2}}=f_{0,0}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{0})-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{0}),\\ -\frac{2u_{m-1,0}}{\Delta x^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{m,0})}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y \lambda_{m,0})}{\Delta y^{2}}]u_{m,0}-\frac{2u_{m,1}}{\Delta y^{2}}=f_{m,0}+\frac{2}{\Delta x}\varphi_{2}(y_{0})-\frac{2}{\Delta y}\Psi_{1}(x_{m}),\\ -\frac{2u_{0,n-1}}{\Delta y^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{0,n})}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y\lambda_{0,n})}{\Delta y^{2}}]u_{0,n}-\frac{2u_{1,n}}{\Delta x^{2}}=f_{0,n}-\frac{2}{\Delta x}\varphi_{1}(y_{n})+\frac{2}{\Delta y}\Psi_{2}(x_{0}),\\ -\frac{2u_{m,n-1}}{\Delta y^{2}}-\frac{2u_{m-1,n}}{\Delta x^{2}}+[\frac{2(1+\Delta x\lambda_{m,n})}{\Delta x^{2}}+\frac{2(1+\Delta y\lambda_{m,n})}{\Delta y^{2}}]u_{m,n}=f_{m,n}+\frac{2}{\Delta x}\varphi_{2}(y_{n})+\frac{2}{\Delta y}\Psi_{2}(x_{m}). \end{matrix}\right.

        记\beta =\frac{1}{\Delta x^{2}},\gamma=\frac{1}{\Delta y^{2}},\alpha=2(\frac{1}{\Delta x^{2}}+\frac{1}{\Delta y^{2}}),\xi=\frac{2}{\Delta x},\eta=\frac{2}{\Delta y},有

\begin{Bmatrix} -\gamma u_{i,j-1}-\beta u_{i-1,j}+\alpha u_{i,j}-\beta u_{i+1,j}-\gamma u_{i,j+1}=f_{i,j},1\leqslant i\leqslant m-1,1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\gamma u_{0,j-1}+[\alpha+\xi \lambda_{0,j}]u_{0,j}-2\beta u_{1,j}-\gamma u_{0,j+1}=f_{0,j}-\xi\varphi_{1}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\gamma u_{m,j-1}-2\beta u_{m-1,j}+[\alpha+\xi\lambda_{m,j}]u_{m,j}-\gamma u_{m,j+1}=f_{m,j}+\xi \varphi_{2}(y_{j}),1\leqslant j\leqslant n-1,\\ -\beta u_{i-1,0}+[\alpha+\eta\lambda_{i,0}]u_{i,0}-\beta u_{i+1,0}-2\gamma u_{i,1}=f_{i,0}-\eta\Psi_{1}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1,\\ -2\gamma u_{i,n-1}-\beta u_{i-1,n}+[\alpha+\eta\lambda_{i,n}]u_{i,n}-\beta u_{i+1,n}=f_{i,n}+\eta\Psi_{2}(x_{i}),1\leqslant i\leqslant m-1,\\ [\alpha+(\xi+\eta)\lambda_{0,0}]u_{0,0}-2\beta u_{1,0}-2\gamma u_{0,1}=f_{0,0}-\xi\varphi_{1}(y_{0})-\eta\Psi_{1}(x_{0}),\\ -2\beta u_{m-1,0}+[\alpha+(\xi+\eta)\lambda_{m,0}]u_{m,0}-2\gamma u_{m,1}=f_{m,0}+\xi\varphi_{2}(y_{0})-\eta\Psi_{1}(x_{m}),\\ -2\gamma u_{0,n-1}+[\alpha+(\xi+\eta)\lambda_{0,n}]u_{0,n}-2\beta u_{1,n}=f_{0,n}-\xi \varphi_{1}(y_{n})+\eta\Psi_{2}(x_{0}),\\ -2\gamma u_{m,n-1}-2\beta u_{m-1,n}+[\alpha+(\xi+\eta)\lambda_{m,n}]u_{m,n}=f_{m,n}+\xi\varphi_{2}(y_{n})+\eta\Psi_{2}(x_{m}). \end{Bmatrix}\;(4)

        为计算分别,可将上述方程组写成矩阵形式。

        首先,将公式(4)中第4、6、7式写成:

\begin{pmatrix} \alpha+(\xi+\eta)\lambda_{0,0} & -2\beta & & & & & \\ -\beta & \alpha+\eta\lambda_{1,0} & -\beta & & & & \\ & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{2,0} & -\beta & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{m-2,0} & -\beta & \\ & & & & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{m-1,0} & -\beta\\ & & & & & -2\beta & \alpha+(\xi+\eta)\lambda_{m,0} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} u_{0,0}\\ u_{1,0}\\ u_{2,0}\\ \vdots\\ u_{m-2,0}\\ u_{m-1,0}\\ u_{m,0} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2\gamma & & & & & & \\ & -2\gamma & & & & & \\ & & -2\gamma & & & & \\ & & & -2\gamma & & & \\ & & & & -2\gamma & & \\ & & & & & -2\gamma & \\ & & & & & & -2\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,1}\\ u_{1,1}\\ u_{2,1}\\ \vdots\\ u_{m-2,1}\\ u_{m-1,1}\\ u_{m,1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_{0,0}-\eta\Psi_{1}(x_{0})-\xi\varphi_{1}(y_{0})\\ f_{1,0}-\eta\Psi_{1}(x_{1})\\ f_{2,0}-\eta\Psi_{1}(x_{2})\\ \vdots\\ f_{m-2,0}-\eta\Psi_{1}(x_{m-2})\\ f_{m-1,0}-\eta\Psi_{1}(x_{m-1})\\ f_{m,0}-\eta\Psi_{1}(x_{m})-\xi\varphi_{2}(y_{0}) \end{pmatrix} \; (5)

         上面的式子可以简记为

C\mathbf{u_{0}}+2A\mathbf{u}_{1}=\mathbf{f}_{0}

其中,A=-\gamma II为m+1阶单位矩阵,且C为公式(5)最左端的三对角矩阵,\mathbf{f}_{0}为公式(5)右端的向量,\mathbf{u}_{j}=(u_{0,j},u_{1,j},\cdot\cdot\cdot ,u_{m-1,j},u_{m,j})^{T},0\leqslant j\leqslant n。接着,公式(4)中的第1,2,3式可以写成

\begin{pmatrix} -\gamma & & & & & & \\ & -\gamma & & & & & \\ & & -\gamma & & & & \\ & &\ddots &\ddots &\ddots & & \\ & & & & -\gamma & & \\ & & & & & -\gamma & \\ & & & & & & -\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,j-1}\\ u_{1,j-1}\\ u_{2,j-1}\\ \vdots\\ u_{m-2,j-1}\\ u_{m-1,j-1}\\ u_{m,j-1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha+\xi\lambda_{0,j} & -2\beta & & & & & \\ -\beta & \alpha & -\beta & & & & \\ & -\beta & \alpha & -\beta & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & -\beta & \alpha & -\beta & \\ & & & & -\beta & \alpha & -\beta\\ & & & & & -2\beta & \alpha+\xi\lambda_{m,j} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,j}\\ u_{1,j}\\ u_{2,j}\\ \vdots\\ u_{m-2,j}\\ u_{m-1,j}\\ u_{m,j} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -\gamma & & & & & & \\ & -\gamma & & & & & \\ & & -\gamma & & & & \\ & &\ddots &\ddots &\ddots & & \\ & & & & -\gamma & & \\ & & & & & -\gamma & \\ & & & & & & -\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,j+1}\\ u_{1,j+1}\\ u_{2,j+1}\\ \vdots\\ u_{m-2,j+1}\\ u_{m-1,j+1}\\ u_{m,j+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} f_{0,j}-\xi \varphi_{1}(y_{j})\\ f_{1,j}\\ f_{2,j}\\ \vdots\\ f_{m-2,j}\\ f_{m-1,j}\\ f_{m,j}+\xi \varphi_{2}(y_{j}) \end{pmatrix}\;(6),1\leqslant j\leqslant n-1

         该式可以简记为

A\mathbf{u}_{j-1}+B_{j}\mathbf{u}_{j}+A\mathbf{u}_{j+1}=\mathbf{f}_{j},1\leqslant j\leqslant n-1

其中,B_{j}为公式(6)中的三对角矩阵,\mathbf{f}_{j}为公式(6)右端的向量。最后,公式(4)的第5、8、9式可以写成

\begin{pmatrix} -2\gamma & & & & & & \\ & -2\gamma & & & & & \\ & & -2\gamma & & & & \\ & & \ddots& \ddots& \ddots& & \\ & & & & -2\gamma & & \\ & & & & & -2\gamma & \\ & & & & & & -2\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,n-1}\\ u_{1,n-1}\\ u_{2,n-1}\\ \vdots\\ u_{m-2,n-1}\\ u_{m-1,n-1}\\ u_{m,n-1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha+(\xi+\eta)\lambda_{0,n} & -2\beta & & & & & \\ -\beta & \alpha+\eta\lambda_{1,n} & -\beta & & & & \\ & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{2,n} & -\beta & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{m-2,n} & -\beta & \\ & & & & -\beta & \alpha+\eta\lambda_{m-1,n} & -\beta\\ & & & & & -2\beta & \alpha+(\xi+\eta)\lambda_{m,n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_{0,n}\\ u_{1,n}\\ u_{2,n}\\ \vdots\\ u_{m-2,n}\\ u_{m-1,n}\\ u_{m,n} \end{pmatrix}==\begin{pmatrix} f_{0,n}+\eta\Psi_{1}(x_{0})-\xi\varphi_{1}(y_{n})\\ f_{1,n}+\eta\Psi_{2}(x_{1})\\ f_{2,n}-\eta\Psi_{2}(x_{2})\\ \vdots\\ f_{m-2,n}+\eta\Psi_{2}(x_{m-2})\\ f_{m-1,n}+\eta\Psi_{2}(x_{m-1})\\ f_{m,n}+\eta\Psi_{2}(x_{m})+\xi\varphi_{2}(y_{n}) \end{pmatrix} \; (7)

        该式可以简记为

2A\mathbf{u}_{n-1}+D\mathbf{u}_{n}=\mathbf{f}_{n}

其中,D为公式(7)中的三对角矩阵,\mathbf{f}_{n}为公式(7)右端的向量。于是,由公式(5)、(6)、(7)可得到公式(4)写成块三对角矩阵为

\begin{pmatrix} C & 2A & & & & & \\ A & B_{1} & A & & & & \\ & A & B_{2} & A & & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ & & & A & B_{m-2} & A & \\ & & & & A & B_{m-1} & A\\ & & & & & 2A & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{u}_{0}\\ \mathbf{u}_{1}\\ \mathbf{u}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{u}_{m-2}\\ \mathbf{u}_{m-1}\\ \mathbf{u}_{m} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{f}_{0}\\ \mathbf{f}_{1}\\ \mathbf{f}_{2}\\ \vdots\\ \mathbf{f}_{m-2}\\ \mathbf{f}_{m-1}\\ \mathbf{f}_{m} \end{pmatrix}\;(8)

        采用Gauss-Seidel迭代法求解公式(8)。

三、算例实现

        用差分格式-公式(8)求解椭圆型方程混合边值问题:

\left\{\begin{matrix} -(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}})=(\pi^{2}-1)e^{x}sin(\pi y),0<x<2,0<y<1,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}-(x^{2}+y^{2})u)|_{(0,y)}=(1-y^{2})sin(\pi y),0\leqslant y\leqslant 1,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial x}+(x^{2}+y^{2})u)|_{(2,y)}=(5+y^{2})e^{2}sin(\pi y),0\leqslant y\leqslant 1,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}-(x^{2}+y^{2})u)|_{(x,c)}=\pi e^{x},0\leqslant x\leqslant 1,\\ (\frac{\partial u(x,y)}{\partial y}+(x^{2}+y^{2})u)|_{(x,d)}=-\pi e^{x},0\leqslant x\leqslant 1 \end{matrix}\right.

已知精确解为u(x,y)=e^{x}sin(\pi y)。分别取步长为\Delta x=\Delta y=\frac{1}{16}\Delta x=\Delta y=\frac{1}{32},输出6个节点(0.5i,0.25)(0.5i,0.50),i=1,2,3处的数值解,并给出误差,要求在各节点处最大误差的迭代误差限为0.5\times10^{-10}

代码如下:


#include <cmath>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define pi 3.14159265359int main(int argc, char*argv[])
{int m,n,i,j,k;double xa,xb,ya,yb,dx,dy,alpha,beta,gamma,maxerr;double *x,*y,**u,**v,**lambda,*d,kexi,eta,temp;double f(double x, double y);double lambda_function(double x, double y);double phi1(double y);double phi2(double y);double psi1(double x);double psi2(double x);double exact(double x, double y);xa=0.0;xb=2.0;ya=0.0;yb=1.0;m=64;n=32;printf("m=%d,n=%d.\n",m,n);dx=(xb-xa)/m;dy=(yb-ya)/n;beta=1.0/(dx*dx);gamma=1.0/(dy*dy);alpha=2*(beta+gamma);kexi=2.0/dx;eta=2.0/dy;x=(double*)malloc(sizeof(double)*(m+1));for(i=0;i<=m;i++)x[i]=xa+i*dx;y=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));for(j=0;j<=n;j++)y[j]=ya+j*dy;u=(double**)malloc(sizeof(double*)*(m+1));v=(double**)malloc(sizeof(double*)*(m+1));lambda=(double**)malloc(sizeof(double*)*(m+1));for(i=0;i<=m;i++){u[i]=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));v[i]=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));lambda[i]=(double*)malloc(sizeof(double)*(n+1));}for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=n;j++){u[i][j]=0.0;v[i][j]=0.0;lambda[i][j]=lambda_function(x[i],y[j]);}}d=(double*)malloc(sizeof(double)*(m+1));k=0;do{maxerr=0.0;for(i=0;i<=m;i++)d[i]=f(x[i],y[0])-eta*psi1(x[i]);d[0]=d[0]-kexi*phi1(y[0]);d[m]=d[m]+kexi*phi2(y[0]);v[0][0]=(d[0]+2*gamma*u[0][1]+2*beta*u[1][0])/(alpha+(kexi+eta)*lambda[0][0]);for(i=1;i<m;i++)v[i][0]=(d[i]+2*gamma*u[i][1]+beta*(v[i-1][0]+u[i+1][0]))/(alpha+eta*lambda[i][0]);v[m][0]=(d[m]+2*gamma*u[m][1]+2*beta*v[m-1][0])/(alpha+(kexi+eta)*lambda[m][0]);for(j=1;j<n;j++){for(i=0;i<=m;i++){d[i]=f(x[i],y[j]);}d[0]=d[0]-kexi*phi1(y[j]);d[m]=d[m]+kexi*phi2(y[j]);v[0][j]=(d[0]+gamma*(u[0][j+1]+v[0][j-1])+2*beta*u[1][j])/(alpha+kexi*lambda[0][j]);for(i=1;i<m;i++){v[i][j]=(d[i]+gamma*(v[i][j-1]+u[i][j+1])+beta*(v[i-1][j]+u[i+1][j]))/alpha;}v[m][j]=(d[m]+gamma*(v[m][j-1]+u[m][j+1])+2*beta*v[m-1][j])/(alpha+kexi*lambda[m][j]);}for(i=0;i<=m;i++)d[i]=f(x[i],y[n])+eta*psi2(x[i]);d[0]=d[0]-kexi*phi1(y[n]);d[m]=d[m]+kexi*phi2(y[n]);v[0][n]=(d[0]+2*gamma*v[0][n-1]+2*beta*u[1][n])/(alpha+(kexi+eta)*lambda[0][n]);for(i=1;i<m;i++)v[i][n]=(d[i]+2*gamma*v[i][n-1]+beta*(v[i-1][n]+u[i+1][n]))/(alpha+eta*lambda[i][n]);v[m][n]=(d[m]+2*gamma*v[m][n-1]+2*beta*v[m-1][n])/(alpha+(kexi+eta)*lambda[m][n]);for(i=0;i<=m;i++){for(j=0;j<=n;j++){temp=fabs(u[i][j]-v[i][j]);if(temp>maxerr)maxerr=temp;u[i][j]=v[i][j];}}k=k+1;}while((maxerr>0.5*1e-10)&&(k<=1e+8));printf("k=%d\n",k);k=m/4;for(i=k;i<m;i=i+k){printf("(%.2f,0.25), y=%f, err=%.4e.\n",x[i],u[i][n/4],fabs(exact(x[i],y[n/4])-u[i][n/4]));}k=m/4;for(i=k;i<m;i=i+k){printf("(%.2f,0.50), y=%f, err=%.4e.\n",x[i],u[i][n/2],fabs(exact(x[i],y[n/2])-u[i][n/2]));}for(i=0;i<=m;i++){free(u[i]);free(v[i]);free(lambda[i]);}free(u);free(v);free(lambda);free(x);free(y);free(d);return 0;
}double f(double x, double y)
{return (pi*pi-1)*exp(x)*sin(pi*y);
}
double lambda_function(double x, double y)
{return x*x+y*y;
}
double phi1(double y)
{return (1-y*y)*sin(pi*y);
}
double phi2(double y)
{return (5.0+y*y)*exp(2.0)*sin(pi*y);
}
double psi1(double x)
{return pi*exp(x);
}
double psi2(double x)
{return -pi*exp(x);
}
double exact(double x, double y)
{return exp(x)*sin(pi*y);
}

\Delta x=\Delta y=\frac{1}{16}时,计算结果如下:

m=32,n=16.
k=4323
(0.50,0.25), y=1.152179, err=1.3643e-02.
(1.00,0.25), y=1.911016, err=1.1100e-02.
(1.50,0.25), y=3.162159, err=6.8738e-03.
(0.50,0.50), y=1.638607, err=1.0115e-02.
(1.00,0.50), y=2.711255, err=7.0265e-03.
(1.50,0.50), y=4.479936, err=1.7526e-03.

\Delta x=\Delta y=\frac{1}{32}时,计算结果如下:

m=64,n=32.
k=16007
(0.50,0.25), y=1.162412, err=3.4097e-03.
(1.00,0.25), y=1.919341, err=2.7745e-03.
(1.50,0.25), y=3.167313, err=1.7193e-03.
(0.50,0.50), y=1.646193, err=2.5286e-03.
(1.00,0.50), y=2.716524, err=1.7575e-03.
(1.50,0.50), y=4.481249, err=4.3972e-04.

四、结论

        从计算结果可知,当步长减小为1/2时,误差减小为原来的1/4,可见该数值格式是二阶收敛的。

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