推导 模型矩阵的逆转置矩阵求运动物体的法向量

一个物体表面的法向量如何随着物体的坐标变换而改变，取决于变换的类型。使用逆转置矩阵，可以安全地解决该问题，而无须陷入过度复杂的计算中。

法向量变化规律

1. 平移变换不会改变法向量，因为平移不会改变物体的方向。 
2. 旋转变换会改变法向量，因为旋转改变了物体的方向。
3. 缩放变换对法向量的影响较为复杂。如上图，最右侧的图显示了立方体先旋转了45度，再在y轴上拉伸至原来的2倍的情况。此时法向量改变了，因为表面的朝向改变了。但是，如果缩放比例在所有的轴上都一致的话，那么法向量就不会变化。

模型矩阵的逆转值矩阵可以用来变换法向量。实际上，在某些特殊情况下，可以通过模型矩阵来确定物体变换后的法向量。比如说，当物体在旋转时，可以用旋转矩阵直接乘以法向量，就能获得旋转后的法向量。总之，计算变换后的物体表面的法向量方向时，是求诸于模型矩阵自身，还是模型矩阵的逆转值矩阵，取决于模型矩阵中已经包含的变换类型（平移、旋转或缩放）。

直接通过模型矩阵自身求变换后的法向量。如果模型矩阵中已经包含了平移变换，法向量就会被当作顶点坐标平移，从而导致法向量与原有的表面朝向不一致。比如说，一个法向量是（1，0，0），沿Y轴平移2.0个单位后，就变成了（1，2，0）。事实上，如果你从4×4的模型矩阵的左上角抽出3×3的子矩阵，然后乘以法向量，就可以避免该问题。如下所示，4*4的模型矩阵：

由于3×3的子矩阵实际上包含了旋转矩阵和缩放矩阵的信息，我们来逐一考虑。

• 如果只进行旋转操作：

你可以使用模型矩阵的3×3子矩阵对法向量进行变换。如果在变换前法向量已经归一化了，那么变换后的法向量无须再归一化处理。

• 如果只进行缩放操作（且缩放因子相同）：

你可以使用模型矩阵的3×3子矩阵对法向量进行变换。但是，变换后的法向量需要再次归一化处理。

在这种情况下，当你只进行缩放操作且缩放因子相同时，这意味着X轴、Y轴和Z轴的缩放因子是一致的。比如，你希望以一致的缩放因子2.0进行缩放，那么就需要将法向量 3*3 子矩阵 变换后归一化，这时，即使物体的尺寸发生了变化，但是其形状并未改变。

• 如果进行了缩放操作（但缩放因子不同）：

必须使用模型矩阵的逆转值矩阵对法向量进行变换。变换后的法向量必须再次归一化处理。原因如下：

如下图使一个矩形物体（左图）沿Y轴拉伸2.0倍，拉伸后的形状如右图所示。这里，为了获得变换后的法向量，我们试图使用模型矩阵乘以原先的法向量（1，1，0）。但是，得到的结果是（1，2，0），并不垂直于拉伸后的物体表面了。

推导

令模型矩阵为M，令初始的法向量为n，令变换矩阵为M＇，也就是用来正确变换法向量n的矩阵，令垂直于n的向量为s，令变换后的法向量为n＇，令垂直于n＇的向量为s＇

有等式一、二：

n＇ =  M＇ *  n

s＇ =  M * s

n和s，以及 n＇和 s＇的关系 ，如下：

现在，我们就来计算M＇，使得n＇和s＇的相对角度保持垂直。我们知道两个垂直矢量的点积是0，点乘操作使用点运算符“ · ”表示，所以有：

 n＇·  s＇=  0

将等式一、二代入并重写上式

从上图中可以看出，M＇就是通过转置M的逆矩阵得到的，或者说，M＇就是M的逆转置矩阵。因为M已经可能包含了上面列举过的三种变换情况，所以计算M的逆转置矩阵并乘以法向量，就可以获得正确的结果，因此，这才是对法向量进行变换的最佳方法

另，计算逆转置矩阵可能会比较耗时，如果你非常确定物体的变换只包含上述（1）（2）的情形，也可以简单地使用上述 模型矩阵的3×3子矩阵 来对处理法向量。