基于截断傅里叶级数展开的抖动波形生成

1、背景
        抖动是影响信号完整性的重要因素。随着信号速率的不断提高，抖动的影响日益显著。仿真生成抖动时钟或抖动信号，对系统极限性能验证具有重要意义。抖动是定义在时域上的概念，它表征真实跳变位置(如跳边沿或过零点)与理想跳变位置之间的时间偏差。自然而然地，抖动信号生成也多从时域角度出发。考虑到时域和频域只是信号在不同维度上的表现方式。本文探索一种从频域角度生成抖动信号的方法，首先对方法的原理进行详细说明，然后比较与现有方法的优缺点，最后给出仿真验证结果。

2、原理
    (1) 抖动时钟生成原理
  周期信号可进行傅里叶级数展开，设周期信号$f(t)$的周期为$T$，则其三角函数的傅里叶级数展开表达式为
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }[A_{n}cos({\omega }_{n}t)+B_{n}sin({\omega }_{n}t)]\text{\hspace{1em}(1)}$$
  其中, ${\omega }_n=n\frac{2\pi }{T}$表示第$n$个分量的角频率。 $A_0$、$A_n$、$B_n$分别表示直流分量，余弦分量的幅度和正弦分量的幅度，它们的表达式分别为：
$$\begin{gathered} A_0=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt \\ {A}_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)cos({\omega }_{n}t)dt \\ {B}_n=\frac{2}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)sin({\omega }_{n}t)dt \end{gathered}$$
  时钟信号是一种周期信号，为了将时钟信号表示为傅里叶级数展开的形式，需表示出时钟信号在一个周期内的表达式。

图1. 理想时钟信号示意图

  上图建立直角坐标系，对理想时钟信号进行表示，其中$T$表示信号周期，${\tau }_r$和${\tau }_f$分别表示上升时间和下降时间。$L=(T-{\tau }_r-{\tau }_f)/2$表示理想情况下平稳电平的时长。上图中未体现抖动的影响，抖动表现为实际跳变沿位置相对于跳边沿理想位置的时间偏差，带抖动的时钟信号示意图如下。

图2. 带抖动的时钟信号示意图

  上图中蓝色虚线为理想跳边沿，$t_r$和$t_f$分别表示上升沿和下降沿抖动值。图中标记了4个信号的关键转折点，分别记为$a$、$b$、$c$、$d$。这4个点的位置可分别表示为：
$$\begin{gathered} a=-L/2-{\tau }_r-t_r=-\frac{1}{4}T-\frac{3}{4}{\tau }_r+\frac{1}{4}{\tau }_f-t_r \\ b=-L/2-t_r=-\frac{1}{4}T+\frac{1}{4}{\tau }_r+\frac{1}{4}{\tau }_f-t_r \\ c=L/2-t_f=\frac{1}{4}T-\frac{1}{4}{\tau }_r-\frac{1}{4}{\tau }_f-t_f \\ d=L/2+{\tau }_f-t_f=\frac{1}{4}T-\frac{1}{4}{\tau }_r+\frac{3}{4}{\tau }_f-t_f \end{gathered}$$
  由此，带抖动的时钟信号的表达式为：
$$f(t)=\{\begin{array}{c}0,-\frac{T}{2}\le t<a\\ \frac{v}{b-a}(t-a),a<t\le b\\ v,b<t\le c\\ \frac{v}{c-d}(t-d),c<t\le d\\ 0,d<t\le T/2\end{array}$$
  将$f(t)$的表达式带入$A_0$、$A_n$、$B_n$的表达式中，可求得：
$$\begin{gathered} A_0=\frac{1}{T}{\int }_{t_0}^{t_0+T}f(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)dt \\ =\frac{1}{T}[{\int }_a^b\frac{v}{b-a}(t-a)dt+{\int }_b^{c}vdt+{\int }_c^d\frac{v}{c-d}(t-d)dt] \\ =\frac{1}{T}[\frac{1}{2}v(b-a)+\frac{1}{2}v(c+b)(c-b)+\frac{1}{2}v(d-c)] \\ =\frac{v}{2T}[(b-a)+(c+b)(c-b)+(d-c)]\text{\hspace{1em}(2)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)cos({\omega }_{n}t)dt \\ =\frac{2}{T}[{\int }_a^b\frac{v(t-a)}{b-a}cos({\omega }_{n}t)dt+{\int }_b^{c}vcos({\omega }_{n}t)dt+{\int }_c^d\frac{v(t-d)}{c-d}cos({\omega }_{n}t)dt] \\ =\frac{2}{T}[\frac{v(cos({\omega }_{n}b)-cos({\omega }_{n}a))}{(b-a){\omega }_n^2}+\frac{v(cos({\omega }_{n}d)-cos({\omega }_{n}c))}{(c-d){\omega }_n^2}+\frac{v(sin({\omega }_{n}c)-sin({\omega }_{n}b))}{{\omega }_n}]\text{\hspace{1em}(3)} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} B_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(t)sin({\omega }_{n}t)dt \\ =\frac{2}{T}[{\int }_a^b\frac{v(t-a)}{b-a}sin({\omega }_{n}t)dt+{\int }_b^{c}vsin({\omega }_{n}t)dt+{\int }_c^d\frac{v(t-d)}{c-d}sin({\omega }_{n}t)dt] \\ =\frac{2}{T}[\frac{v(sin({\omega }_{n}b)-sin({\omega }_{n}a))}{(b-a){\omega }_n^2}+\frac{v(sin({\omega }_{n}d)-sin({\omega }_{n}c))}{(c-d){\omega }_n^2}+\frac{v(cos({\omega }_{n}b)-cos({\omega }_{n}c))}{{\omega }_n}]\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$
  显然，在已知上述傅里也变换级数的各项系数时，即可将原始时域周期信号用傅里叶级数表示出来，需要注意的是，在实际运算时，谐波索引$n$不能取到无穷大。所以，实际只能得到信号的截断傅里叶级数展开的形式，保留的谐波次数越高，得到的波形越准确，但计算量越大。
  需要注意的是，利用(1)式将原始信号表示为傅里叶级数展开的形式时$t$被限制在了$[-T/2,T/2]$的范围内，所以只生成了一个周期的信号。为了生成多个周期的信号，我们需要按照上面的方式，生成多个周期的信号，并将各个周期的信号拼接成完整的信号，其中各个周期的上升/下降时间及抖动值都是可以独立指定的。
  此外，上面生成时，考虑时钟低电平为0，可根据实际要求，对波形进行上下平移，以调整波形的offset。

    (2) 抖动信号生成原理
    本文以NRZ和PAM4信号为例，说明抖动信号的生成原理。NRZ和PAM4信号与时钟信号的不同在于NRZ/PAM4并非周期信号，所以相比于时钟信号，带抖动的NRZ/PAM4信号虽然能借鉴抖动时钟信号的生成方法，但需进行一定的修改和适配。具体地，如下图所示相邻两个NRZ符号有4种可能状态，分别为’00’，‘01’，‘10’和’11’；相邻两个PAM4符号有16种可能状态，分别为’00’, ‘01’, ‘02’, ‘03’, ‘10’, ‘11’, ‘12’, ‘13’, ‘20’, ‘21’ ,‘22’, ‘23’, ‘30’, ‘31’, ‘32’, ‘33’。所以，可以将NRZ和PAM4的符号两两组合，进行波形生成，其中除非跳变位置的波形，如’00’,‘11’,‘22’,'33’外，其他跳变波形均能参照抖动时钟的生成方法，只需对波形表达式进行略有的适配即可。

图3. NRZ波形示意图

图4. PAM4波形示意图

未完待续。。。
未完待续。。。
未完待续。。。
未完待续。。。