网络空间安全数学基础·整除与同余
主要内容:
整除的基本概念(掌握)
素数(掌握)
同余的概念(掌握)
1.1整除
定义:设a,b是任意两个整数,其中b≠0,如果存在一个整数q,使 a = qb,则我们称b整除a,或a被b整除,记为b|a,此时称 b是a的因子,a是b的倍数。
例:a=10, b=2则有2|10;若a=100, b=10有10|100
例:设a是整数,a≠0, 则a|0。
整除的基本性质:
1. 如果b|a且a|b,则b = a或b = -a。
2. 如果a|b且b|c,则a|c。
3. 如果c|a且c|b,则c|ua+vb,其中u,v是整数。
整除的基本性质(补充):
(1) a|b<=>-a|b<=>a|-b<=>-a|-b<=>|a| | |b|
(2) b≠0且a|b => |a|≤|b|
带余除法:当两个整数不能整除时,我们有带余除法:
定义:对于a,b两个整数,其中b≠0,则存在唯一q,r使得:a=bq+r,0 ≤ r<|b|。r称为a被b除得到的余数, 当r = 0时,b|a。
例:
1)a = –37, b= 5,则–37 = (-8)×5+3,q=8,r=3
2)a = 67,b= 7,则67=(9)×(7)+4,q=9, r=4
最大公因子:
定义:
1) 设a,b是两个整数,如果整数c|a且c|b,则c称为a,b的公因子。
2) 设c>0是两个不全为零的整数a,b的公因子,如果a,b的任何公因子都整除c,则c称为a,b的最大公因子,记为c=(a,b)。
最大公因子性质:
1.(a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)=(|a|,|b|)
2.(0,a)=a
最大公因子(求解)
例:(-3824,1837)
最大公因子定理:
定理:设a,b是两个不全为零的整数,则存在两个整数u, v,使得:(a, b)=ua+vb。
例:将a = 888,b = 312的最大公因子表示为(a,b) = ua+vb。
1.2互素
定义:设a,b是两个不全为0的整数,如果(a, b)=1,则称a,b互素。
推论:a, b互素的充分必要条件是:存在u,v,使ua+vb=1。
互素性质:
1) 如果c|ab且(c, a) = 1,则c|b 。
2) 如果a|c,b|c,且(a, b) = 1,则ab|c 。
3) 如果(a,c) = 1,(b,c) = 1,则(ab,c) =1 。
最小公倍数:
定义:
1) 设a, b是两个不等于零的整数.如果a|d,b|d,则称d是a和b的公倍数。
2) a和b的正公倍数中最小的称为a和b的最小公倍数,记为[a,b] 。
最小公倍数性质:
[a,b] = [–a,b] = [a,–b] = [–a,–b] = [|a|,|b|]
例:a = 2,b = 3.它们的公倍数集合为{0,±6,±12,±18,…}.而[2,3] = 6 。
最小公倍数与最大公因子关系:
定理:
1) 设d是a,b的任意公倍数,则[a, b] | d 。
2)
,特别地,如果(a, b) = 1, [a, b] = |ab|。
1.3素数
定义:如果一个大于1的整数p除±1和±p外无其他因子,则p称为一个素数,否则称为合数。
定理:设p是一个素数,则
1) 对任意整数a,如果p不整除a,则(p,a) = 1。
2) 如果p|ab,则p|a,或p|b。
算术基本定理:
定理:每个大于1的整数a都可以分解为有限个素数的乘积:a=p1p2…pr。该分解除素数因子的排列外是唯一的。
标准因子分解式:
由于p1,p2,…,pr中可能存在重复,所以a的分解式可表示为有限个素数的幂的乘积:
,这称为a的标准因子分解式。
例:2100的标准因子分解式:
素数无穷个:
定理:素数有无穷多个。
Eratosthenes筛法:
定理:设a是任意大于1的整数,则a的除1外最小正因子q是一素数,并且当a是一合数时,
。
对于一般N,Eratosthenes筛法可表述如下:
第1步 找出的全部
素数:p1,p2,…,pm。
第2步 在1~N中分别划去p1,p2,…,pm全部倍数。
第2步完成后剩下的数除1外就是不超过N的全部素数。
筛法原理如下:对于一个数a≤N,如果p1,p2,…,pm都不整除a,则a是素数。这是因为如果a是合数,则由定理它必有一素因子在p1,p2,…,pm中。
例:求不超过100的全部素数。
同理可以将因子5,7的倍数划去: (3) 划去5的全部倍数: (4) 划去7的全部倍数。
最终经过上述步骤后剩下的数除1外就是不超过100的全部素 数: (25个) 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
1.4 同余
定义:给定一个称为模的正整数m。如果m除整数a,b得相同的余数,即a=q1m+r,b=q2m+r,0≤ r小于等于m, 则称a和b关于模m同余,记为 a≡b (mod m)
例:25≡1(mod 8),16≡-5(mod 7)。
定理:整数a,b对模m同余的充分必要条件是:m|(a-b),即a = b+mt,t是整数。
同余性质及推论:

推论:如果a1≡b1 (mod m),a2≡b2 (mod m),则:
快速指数算法
例1-16:求解 2^64 (mod 641)
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