z3-加法器实验

补码器加减法，运算方法简介

我们要知道什么是补码的加法，我们为什么要用补码的加法？

补码的加法其实就是将两个补码形式的二进制数字直接相加，处理的时候忽略超出固定位数的进位。补码的加法运算和无符号二进制数的加法操作一样，不需要额外处理负号或减法的逻辑

补码加法的具体操作步骤：

1. 将两个补码数位对齐（确保位数一致）
2. 诸位相加，处理进位
3. 如果结果超出固定的位数，忽略超出部分的进位

例子：
假如我们在一个8位的系统中进行加法计算

• 5+3
  • 5的补码：00000101
  • 3的补码：00000011
  • 00001000（结果位8）
• 5+(-3)
  • 5的补码：00000101
  • -3的补码：11111101
  • 相加：10000010（结果位-2，最高位1表示结果是负数）

那么我们为什么要使用补码的加法？

补码的使用简化了计算机硬件的设计，使有符号的整数运算变得更加高效统一。补码的使用还简化了负数的表示和处理，使计算机更方便地进行各种数值运算。

在了解了补码的加法之后我们就可以尝试设计一位全加器电路了

构造一个一位全加器

首先要知道什么是全加器？

全加器是一种基本的数字电路，用于二进制数的加法运算。它能够同时处理两个二进制数的加法运算。它能够同时处理两个二进制位和一个来自低位的进位输入，并输出该位的和以及进位到高位的值。全加器是构建多位二进制加法器的基本模块。

全加器的功能

全加器有三个输入两个输出：

• 输入：两个被加的二进制位A和B，以及来自前一位的进位输入C_in_
• 输出：该位的和S和向更高位传递的进位输出C_out_

全加器的真值表

A	B	C_in_	S	C_out_
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

全加器的逻辑表达式

根据真值表，全加器的输入S和输出C可以用逻辑表达式表示：

• 和（sum）S：S = A XOR B XOR C_in_
• 进位（Carry）C_out_：C_out_ = (A * B) + (B * C_in_) + (A * C_in_)

一位全加器的电路实现

如下图所示：

功能封装

八位串行加法器

八位串行加法器是一种可以对两个8位二进制数进行加法运算的电路，串行加法器的工作原理是每次处理一个位，并将进位传递到下一位进行累加。以下是八位串行加法器的详细电路设计和验证。

电路设计

• 全加器：用于对两个二进制位及一个进位进行相加。
• 移位寄存器：用于存储和移位操作，分别存储两个8位数加数和结果
• **D触发器：**用于存储和传递进位
• 时钟：用于同步操作

电路示意图

使用具体数字验证

1. 初始化

• A寄存器：10101010
• B寄存器：01010101
• 进位 𝐶0：0

2. 逐位相加

1. 第1次时钟脉冲：
   • 取出最低位：A0 = 0, B0 = 1, 𝐶0=0
   • 全加器计算：𝑆0=0⊕1⊕0=1
   • 进位：𝐶1=(0⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=0
   • 移位：A -> 01010101, B -> 00101010
2. 第2次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A1 = 1, B1 = 0, 𝐶1=0
   • 全加器计算：𝑆1=1⊕0⊕0=1
   • 进位：𝐶2=(1⋅0)+(0⋅0)+(1⋅0)=0
   • 移位：A -> 00101010, B -> 00010101
3. 第3次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A2 = 0, B2 = 1, 𝐶2=0
   • 全加器计算：𝑆2=0⊕1⊕0=1
   • 进位：𝐶3=(0⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=0
   • 移位：A -> 00010101, B -> 00001010
4. 第4次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A3 = 1, B3 = 0, 𝐶3=0
   • 全加器计算：𝑆3=1⊕0⊕0=1
   • 进位：𝐶4=(1⋅0)+(0⋅0)+(1⋅0)=0
   • 移位：A -> 00001010, B -> 00000101
5. 第5次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A4 = 0, B4 = 1, 𝐶4=0
   • 全加器计算：𝑆4=0⊕1⊕0=1
   • 进位：𝐶5=(0⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=0
   • 移位：A -> 00000101, B -> 00000010
6. 第6次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A5 = 1, B5 = 0, 𝐶5=0
   • 全加器计算：𝑆5=1⊕0⊕0=1
   • 进位：𝐶6=(1⋅0)+(0⋅0)+(1⋅0)=0
   • 移位：A -> 00000010, B -> 00000001
7. 第7次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A6 = 0, B6 = 1, 𝐶6=0
   • 全加器计算：𝑆6=0⊕1⊕0=1
   • 进位：𝐶7=(0⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=0
   • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
8. 第8次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A7 = 1, B7 = 0, 𝐶7=0
   • 全加器计算：𝑆7=1⊕0⊕0=1
   • 进位：𝐶8=(1⋅0)+(0⋅0)+(1⋅0)=0

结果

最终输出结果的各位和为 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=11111111，即十进制的255。进位输出 𝐶8=0，表示没有产生进位。

八位可控加减法器

8位可控加减法器是一种能够对两个8位二进制数进行加法或减法运算的电路。它通过控制信号来决定是执行加法还是减法。减法可以通过将被减数取补码并进行加法来实现。以下是详细的电路设计和使用具体数字进行验证的步骤。

电路设计

• 全加器：用于对两个二进制位及一个进位进行相加。
• 移位寄存器：用于存储和移位操作，分别存储两个八位数和结果。
• D触发器：用于存储和传递进位。
• 时钟：用于同步操作。
• 异或门：用于将减法操作转化为加法操作。
• 控制信号：用于选择加法或减法操作。

电路示意图

使用具体数字验证

加法验证

假设我们要相加的两个8位数是：

• A = 01101101 (十进制的109)
• B = 00111011 (十进制的59)

1. 初始化：
   • A寄存器：01101101
   • B寄存器：00111011
   • 进位 _C_0：0
   • 控制信号 Add/Sub = 0（加法）
2. 逐位相加

• 第1次时钟脉冲：
  • 取出最低位：A0 = 1, B0 = 1, 𝐶0=0
  • 全加器计算：𝑆0=1⊕1⊕0=0
  • 进位：𝐶1=(1⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=1
  • 移位：A -> 00110110, B -> 00011101
• 第2次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A1 = 0, B1 = 1, 𝐶1=1
  • 全加器计算：𝑆1=0⊕1⊕1=0
  • 进位：𝐶2=(0⋅1)+(1⋅1)+(0⋅1)=1
  • 移位：A -> 00011011, B -> 00001110
• 第3次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A2 = 1, B2 = 1, 𝐶2=1
  • 全加器计算：𝑆2=1⊕1⊕1=1
  • 进位：𝐶3=(1⋅1)+(1⋅1)+(1⋅1)=1
  • 移位：A -> 00001101, B -> 00000111
• 第4次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A3 = 1, B3 = 0, 𝐶3=1
  • 全加器计算：𝑆3=1⊕0⊕1=0
  • 进位：𝐶4=(1⋅0)+(0⋅1)+(1⋅1)=1
  • 移位：A -> 00000110, B -> 00000011
• 第5次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A4 = 0, B4 = 1, 𝐶4=1
  • 全加器计算：𝑆4=0⊕1⊕1=0
  • 进位：𝐶5=(0⋅1)+(1⋅1)+(0⋅1)=1
  • 移位：A -> 00000011, B -> 00000001
• 第6次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A5 = 1, B5 = 1, 𝐶5=1
  • 全加器计算：𝑆5=1⊕1⊕1=1
  • 进位：𝐶6=(1⋅1)+(1⋅1)+(1⋅1)=1
  • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
• 第7次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A6 = 0, B6 = 0, 𝐶6=1
  • 全加器计算：𝑆6=0⊕0⊕1=1
  • 进位：𝐶7=(0⋅0)+(0⋅1)+(0⋅1)=0
  • 移位：A -> 00000000, B -> 00000000
• 第8次时钟脉冲：
  • 取出当前位：A7 = 0, B7 = 0, 𝐶7=0
  • 全加器计算：𝑆7=0⊕0⊕0=0
  • 进位：𝐶8=(0⋅0)+(0⋅0)+(0⋅0)=0

结果

最终输出结果的各位和为 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=10101000，即十进制的168。

减法验证

初始化

• A寄存器：01101101
• B寄存器：00111011
• 进位 _C_0：1（由于使用补码减法，初始进位为1）
• 控制信号 Add/Sub = 1（减法）

逐位计算（将B取反再加上A）

1. 第1次时钟脉冲：
   • 取出最低位：A0 = 1, B0 = 1
   • 由于控制信号为1，B0取反：B0’ = 0
   • 全加器计算：𝑆0=1⊕0⊕1=0
   • 进位：𝐶1=(1⋅0)+(0⋅1)+(1⋅1)=1
   • 移位：A -> 00110110, B -> 00011101
2. 第2次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A1 = 0, B1 = 1
   • 由于控制信号为1，B1取反：B1’ = 0
   • 全加器计算：𝑆1=0⊕0⊕1=1
   • 进位：𝐶2=(0⋅0)+(0⋅1)+(0⋅1)=0
   • 移位：A -> 00011011, B -> 00001110
3. 第3次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A2 = 1, B2 = 1
   • 由于控制信号为1，B2取反：B2’ = 0
   • 全加器计算：𝑆2=1⊕0⊕0=1
   • 进位：𝐶3=(1⋅0)+(0⋅0)+(1⋅0)=0
   • 移位：A -> 00001101, B -> 00000111
4. 第4次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A3 = 1, B3 = 0
   • 由于控制信号为1，B3取反：B3’ = 1
   • 全加器计算：𝑆3=1⊕1⊕0=0
   • 进位：𝐶4=(1⋅1)+(1⋅0)+(1⋅0)=1
   • 移位：A -> 00000110, B -> 00000011
5. 第5次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A4 = 0, B4 = 1
   • 由于控制信号为1，B4取反：B4’ = 0
   • 全加器计算：𝑆4=0⊕0⊕1=1
   • 进位：𝐶5=(0⋅0)+(0⋅1)+(0⋅1)=0
   • 移位：A -> 00000011, B -> 00000001
6. 第6次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A5 = 1, B5 = 0
   • 由于控制信号为1，B5取反：B5’ = 1
   • 全加器计算：𝑆5=1⊕1⊕0=0
   • 进位：𝐶6=(1⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=1
   • 移位：A -> 00000001, B -> 00000000
7. 第7次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A6 = 0, B6 = 0
   • 由于控制信号为1，B6取反：B6’ = 1
   • 全加器计算：𝑆6=0⊕1⊕1=0
   • 进位：𝐶7=(0⋅1)+(1⋅1)+(0⋅1)=0
   • 移位：A -> 00000000, B -> 00000000
8. 第8次时钟脉冲：
   • 取出当前位：A7 = 0, B7 = 0
   • 由于控制信号为1，B7取反：B7’ = 1
   • 全加器计算：𝑆7=0⊕1⊕0=1
   • 进位：𝐶8=(0⋅1)+(1⋅0)+(0⋅0)=0

结果

最终输出结果的各位和为 𝑆7𝑆6𝑆5𝑆4𝑆3𝑆2𝑆1𝑆0=00110010，即十进制的50。