一篇文章搞懂二叉树

DP

动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，并且记录所有子问题的结果，因此动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。

动态规划有自底向上和自顶向下两种解决问题的方式。自顶向下即记忆化递归，自底向上就是递推。

使用动态规划解决的问题有个明显的特点，一旦一个子问题的求解得到结果，以后的计算过程就不会修改它，这样的特点叫做无后效性，求解问题的过程形成了一张有向无环图。动态规划只解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量。

树

树是所有节点的集合，最上面的节点是根，最下面的节点是叶。树的集合就是森林。树是递归定义的，因为每一个节点都可以拆成根+子树。子树又可以拆分，一直拆分，也就是递归了。

叶的度

该节点下面直接相连的节点个数

树的度

整个树中最大的叶的度

节点的层次

从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；如果一个树的根为0层的话，那空树只能用-1来表示了。这就是复数了。为了方便表示，让空树等于0，根为1层比较好。本片所用的理论就是根为1层。

节点的祖先

从根到该节点所经分支上的所有节点

节点的子孙

以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙

双亲节点或父节点

若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B
的父节点

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子
兄弟表示法。

孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点DataType _data;               // 结点中的数据域
};

这个树的结构叫：左孩子，右兄弟。

什么意思呢，就是如果这个节点有子节点，也就是该节点的孩子，就让这个节点的左孩子指针保存孩子的地址，如果该节点没用孩子，就指向空，如果该节点的父节点除了该节点还有其他的子节点，就让该节点的右兄弟指向兄弟节点。这里的兄弟只算亲兄弟，也就是同一个父亲的兄弟。

对于一个正常的树状结构来说，需要进一步的转换才能用左孩子右兄弟的方法来表示。就像左边这个树，BCD是A的孩子，A只需要指向他最左边的孩子B就行，然后用B的右兄弟指针连接C，再让C的右兄弟连接D。发现B没有孩子，就让B的左孩子指向空。C的孩子是E，就让左孩子指向E。E既没有孩子，也没有兄弟，左孩子和右兄弟指针都指向空。然后返回上一节点C，再通过C去找D，D有孩子F，D的左孩子就指向F，F还有一个兄弟，就让F的右兄弟指向G。到这里就都连接完了，其他没用的指针都指向空。

双亲表示法

因为一个父亲可以有多个孩子，但是一个孩子只能有一个父亲，所以可以逆向思考，让孩子存父亲节点。

这里的树的结构体要全部存在数组中，就是定义一个指针数组，数组的每个元素都是指针，每个指针指向一个树的节点。

优点是：寻找父节点的题

缺点是：找孩子节点要变量整个数组，也就是整个树。

树和非树

子树不可相交，每个子树仅有一个父节点，一颗树有N个节点，有N-1条边。不能有孤立的点。比如，5个节点的树，一定有4条边。

就是树不能成环，不能有回路，以后学的图的可能有回路，等等

树的应用

目录树，C盘，D盘了，文件夹就是节点，文件可能是节点可能是叶子

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二叉树

二叉树是特殊的树，就是度为2的树。每个节点最多两个孩子，也可以是空节点，那就是叶子

满二叉树

就是每个节点都是满的，除了叶子。根节点为1

结论：一个完全二叉树的层次为k，那么总的节点个数就是(2^k-1),等比数列求和

每一层的节点个数就是2^k-1 个

完全二叉树

完全二叉树的最底层可以不完整，但是必须从左到右连续。最后一层不满，但连续。满二叉树是特殊的完全二叉树。

树–>二叉树–>完全二叉树–>满二叉树

推论

二叉树的（叶子节点的个数）是（度为2的节点的个数+1）。叶节点的个数是有俩孩子节点个数的多一个。

如果一个二叉树有N个节点，高度是h。

• 对于满二叉树来说：2*h-1=N；h=log₂(N+1)
• 对于完全二叉树来说：2*h -1-X=N。（0<=x<=2^h-1-1) ,log₂N <= h <=log₂(N + 1)

例题：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ B ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ A ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ B ）
A 11
B 10
C 8
D 12

二叉树的存储

以数组的方式

从根节点开始在数组下标为0的地方，然后从左到右依次填入数组，对于完全二叉树来说。

• 若一个父节点的下标是i，那么孩子的下标分别是：2i+1和2i+2。i=4.2i+1=9,2i+2=10。
• 若一个子节点的下标是i，那么父节点下标是：（i-1)/2。(6-1)/2=5/2=2. (5-1)/2=4/2=2。

以链表的方式

链表的方式大概有两种：二叉链表，三叉链表。

二叉链表，就是有两个子节点指针的链表，三叉链表就是有两个子节点child指针，还有一个父节点parent指针。二叉链表，应用的比较多。三叉树一般应用在平衡树，红黑树等等。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点的值
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的父亲struct BinTreeNode* pLeft;   // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点的值
}；

堆(Heap)

堆就是完全二叉树，用数组来储存。

堆的分类

• 大堆（大根堆）

每个父节点都大于等于子节点。左右孩子大小不规定。

• 小堆（小根堆）

每个父节点都小于等于子节点。左右孩子大小不规定。

大根堆和小根堆的作用

根（堆顶）是最大值或最小值。应用在堆排序中。

例题：

1.下列关键字序列为堆的是:（A)
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32

二叉树的遍历

由于二叉树是一个非线性结构，不同于以往的单链表或者数组，只能从头到尾，或者从尾到头的遍历顺序。

二叉树可分为左子树、右子树、根三部分。根据三个部分的先后顺序划分，有三种分法：

1. 前序（先根遍历）：根->左子树->右子树
2. 中序（中根遍历）：左子树->根->右子树
3. 后序（后根遍历）：左子树->右子树->根

DFS和BFS

深度优先搜索算法（英语：Depth-First-Search，DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。其过程简要来说是对每一个可能的分支路径深入到不能再深入为止，而且每个结点只能访问一次.

因发明「深度优先搜索算法」，约翰 · 霍普克洛夫特与罗伯特 · 塔扬在1986年共同获得计算机领域的最高奖：图灵奖。

广度优先搜索算法（Breadth-First Search，缩写为 BFS），又称为宽度优先搜索，是一种图形搜索算法。简单的说，BFS 是从根结点开始，沿着树的宽度遍历树的结点。如果所有结点均被访问，则算法中止。

又因为二叉树结构的特殊性，有层数之分，根据探索的层数有两种分法：深度优先遍历，广度优先遍历

其中深度优先遍历就是：前中后序这三种方式

广度优先遍历是层序。所谓的层序就是一层层的挨着访问。从左到右。

举个例子：

1. 前序：A->B->D->NULL->NULL->E->NULL->NULL->C->NULL->NULL

   一般方便表示，不会写NULL，也就是ABDEC.

2. 中序：NULL->D->NULL->B->NULL->E->NULL->A->NULL->C->NULL

3. 后序：NULL->NULL->D->NULL->NULL->E->B->NULL->NULL->C->A

4. 层序：A->B->C->D->E->NULL->NULL->NULL->NULL->NULL->NULL

大概是什么意思呢？拿中序来说，拿到这棵树，第一个节点也就是根，但是不会访问他的值，因为中序访问就是先访问左子树，对于A这棵树而言，左子树是以B为根的子树，但是这时候不能访问B的值，因为对于B而言，D才是B的左子树，对于D而言，左子树为空，返回NULL（这也就是中序第一个NULL的来源）。然后返回D节点，D是以D为根的子树的根，D的左子树已经访问完了，所以要访问D，然后访问D这棵树的右子树，右子树还是空，返回NULL。以D为根的子树才彻底访问完毕。D又是B的左子树，以B为根的子树的左子树访问完，才访问根B的值。接着是B的右子树E。以E为根的子树还要先访问左子树。。。。。。。

不难发现，中序是先沿着左子树这条路，一直找到了D的左子树NULL才停止访问。然后返回上级D这条岔路口走右子树。再返回D的上级B岔路口走右子树。

随着程序的运行，一开始就先找最深的地方，也就是深度优先遍历。走到空，无路可走了，才退回来。

所以深度优先适合数组、图，这种量大的遍历。

实现深度优先一般用递归，栈。

实现广度优先用队列。