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统计信号处理基础 习题解答10-5

题目

通过令

并进行计算来重新推导MMSE估计量。提示:利用结果

解答

首先需要明确的是:

上式是关于观测值x 的函数


其次需要说明一下这个结果

和教材一样,我们用求期望,需要注意的是,在贝叶斯情况下,是个随机变量,而不是一个确定的值:

其中:

上式是X=x条件下的函数,因此是x的函数,于无关

因此,也就是得到了

或者更加通俗一点:


下面开始证明:

其中:

上式中x等参数的函数,但已经对θ完成了一次积分,所以肯定不是θ的函数。另外是个估计量,在观察数据x等参数等参数明确情况下具有确定值,也不是θ的函数,因此:

上面又用到了中不包含θ,且

而对比,又得到:

因此:

把上面结果带入到中,得到:

上式中,都是大于等于0的项,因此,如果要使得最小,那么用户可以选择估计量,使得:

在这个情况下:

此时,达到最小值,即:

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