代码随想录算法训练营第四十四天 | 01背包问题理论基础、01背包问题滚动数组、416. 分割等和子集

背包问题其实有很多种，01背包是最基础也是最经典的，软工计科学生一定要掌握的。

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01背包问题

代码随想录

视频讲解：带你学透0-1背包问题！| 关于背包问题，你不清楚的地方，这里都讲了！| 动态规划经典问题 | 数据结构与算法_哔哩哔哩_bilibili

思路

        直接上动态规划五部曲

1、dp数组及其下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

2.确定递推公式

再回顾一下dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

再看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

4.确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

那么问题来了，先遍历 物品还是先遍历背包重量呢？

其实都可以！！ 但是先遍历物品更好理解。

5.举例验证，直接看链接里的吧。

代码

def test_2_wei_bag_problem1():weight = [1, 3, 4]value = [15, 20, 30]bagweight = 4# 二维数组dp = [[0] * (bagweight + 1) for _ in range(len(weight))]# 初始化for j in range(weight[0], bagweight + 1):dp[0][j] = value[0]# weight数组的大小就是物品个数for i in range(1, len(weight)):  # 遍历物品for j in range(bagweight + 1):  # 遍历背包容量if j < weight[i]:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])print(dp[len(weight) - 1][bagweight])test_2_wei_bag_problem1()

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01背包滚动数组

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视频讲解：带你学透01背包问题（滚动数组篇） | 从此对背包问题不再迷茫！_哔哩哔哩_bilibili

 看链接吧，老是复制粘贴累了。

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416.分割等和子集

本题是 01背包的应用类题目

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视频讲解：动态规划之背包问题，这个包能装满吗？| LeetCode：416.分割等和子集_哔哩哔哩_bilibili

思路

        就是01背包的应用，背包的大小是总和的一半，遍历每一个物品，看看遍历到最后能不能装满这个背包。

代码（二维版本在链接里）

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:if sum(nums) % 2 != 0:return Falsetarget = sum(nums) // 2dp = [0] * (target + 1)for num in nums:for j in range(target, num-1, -1):dp[j] = max(dp[j], dp[j-num] + num)return dp[-1] == target