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笔记96：前馈控制 + 航向误差

news 2026/2/10 7:11:06

1. 回顾

对于一个 $\dot{x}=Ax+Bu$ 系统而言，结构可以画作：

如果采用 $u=-Kx$ 这样的控制策略，结构可以画作：（这就是LQR控制）

使用LQR控制器，可以通过公式 $\dot{x}=Ax+Bu$ 和 $u=-Kx$ 构建一个完美的负反馈系统；

但是有上一个博客可知，我们的误差型车辆横向动力学方程，有三项，而非两项，这就意味着使用LQR控制器是不够控制我们的这个系统的，因为LQR只对前两项起调节作用；

我们的目的：

系统稳定，即 $\dot{x}=0$
稳态误差为0 ，即 $x=0$

解释：如果只用【LQR + 反馈】来控制该系统

无法实现两者同时为0，因为稳态误差是由小尾巴 $C\dot{\theta _r}$ 带来的，如果只是 LQR 的话那么可以指定 K 矩阵满足 $A=B_1K$ 即可使得系统 $\dot{x}=Ax+B\delta$ 稳定且稳态误差为0，但是不管 K 如何取值都无法满足系统 $\dot{x}=Ax+B\delta +C\dot{\theta _r}$ 稳定且稳态误差为0；

本博客主讲：解决LQR中的小尾巴

2. 引入前馈控制 -- 解决第三项

Step1：

Step2：现在系统已经稳定了，接下来我们的目的是令稳态误差也为0：

Step3：令横向误差 $e_d$ 为0

Step4：令（假）航向误差 $e_\varphi$ 为0

$e_\varphi$ 的公式中只有 $V_x$ 的值是受我们控制的，但是如果通过指定 $V_x$ 的值使得稳态误差为0，那么不就意味着车辆只能以一个恒定的速度行驶了，这是不现实的
我们这样想，本身航向误差其实是 $\varphi +\beta -\theta _r$ ，我们追求的目标其实是这个公式为0，所以 $e_\varphi$ 不为0反倒是正确的，因为 $e_\varphi$ 被定义为 $\varphi-\theta _r$ ，所以我们需要的是 $e_\varphi=-\beta$

综上： $\dot{\theta _r}=k\dot{s}\approx kv_x$

则有：

这里出现了一个 may，应该是整个车身受到的侧向力 F，但是这个 F/Cr 就什么都不是了，Cr 只是后轮的侧偏刚度，整车收到的侧向力 / 后轮的侧偏刚度，这啥都不是，所以需要继续化简，所幸这里的给我们提供了化简思路；

则有： $e_\varphi=-\beta$ 符合我们期待的结果（因为 $e_\varphi$ 并不是真正的航向误差）

因此对于下面这个公式，只需要管第一项就可以了，因为后面三项都达到了我们期待的标准

即：

总结：

计算 K：通过 LQR 中的 Riccati 方程获得
计算 $\delta _f$ ：通过下面的公式计算