支持向量机(SVM): 从理论到实践的指南（1）

支持向量机（SVM）被誉为数据科学领域的重量级算法，是机器学习中不可或缺的工具之一。SVM以其优秀的泛化能力和对高维数据的管理而备受推崇。本文旨在梳理SVM的核心概念以及其在实际场景中的应用。

SVM的核心理念

SVM专注于为二分类问题找到最佳决策边界，即超平面，该平面能最大化两类数据之间的空隙或间隔。线性SVM假设用一个直线（或高维空间中的超平面）足以有效地分隔数据。当遇到重叠或杂乱无章散布的数据时，软间隔SVM允许某些点位于错误的边界一侧，这通过引入松弛变量与罚项系数C来实现，从而提供一个稳健的平衡方案。

算法实现

SVM通过转化优化问题为其对偶形式并使用拉格朗日乘子法来解决。这不仅简化了求解过程，还能自然地加入核技巧(Kernel trick)来处理非线性可分的数据集。
详细算法描述>>>>

一个经典案例

为了具体说明SVM的应用，我们考虑了一个著名的数据集。

1. 鸢尾花分类：鸢尾花数据集由三个品种的鸢尾花构成，每一种都有50个样本和4个特征。对于二分类任务，我们专注于将Setosa从Versicolour中区分出来。

实践应用

利用MindOpt APL，一种强大的代数建模语言和求解器，我们可以更高效地构建和解决SVM优化问题。在训练阶段，算法学习数据的模式，并找到分隔不同类别的最优决策边界。一旦模型确定，我们便可用其做出预测并评估其在未见数据上的性能。

clear model;####################################################
#
#   Vectorization Modeling Example
#   Linear SVM
#
####################################################option modelname svm_02; #定义存储文件名# ----------建模--------Start----
# svm_02.mapl# 1.读取iris的用于构建SVM模型的训练数据
param data_dir = "./data/iris_data-train.csv";
param X = read_csv( data_dir, use_col="0,1,2,3",skip=1);
param y = read_csv( data_dir, use_col=4,skip=1);
param dataNum = X.row;
param dataDim = X.col;
print "总共有{}个数据，每个数据有{}维"%dataNum,dataDim;# 2.LinearSVM问题建模
param C_rho = 0.2;
print "Param C is :{}"%C_rho;print "Start modeling-------";var w(dataDim) >= -1 <= 1; # Bounded Model Parameter
var b; #
var eps(dataNum) >= 0;minimize 1/2 * w' * w + C_rho * sum(eps); #'是转置，目标函数subto constraint:eps >= 1 - (X*w +b).*y; #注意是向量化建模，因此相当于多条维度的约束# 3.调用求解器求解
print "Start solving-------";
option solver mindopt;
solve;# 4. 超平面的w取值
print "- Optimal w is:";
print w;
print "- Optimal b is:";
print b;
print "- eps is:";
forall { i in 0..dataNum-1 with eps[i] > 0.001}print "  - eps[{}] = {} "%i,eps[i];param obj_total_loss =  1/2 * w' * w + C_rho * sum(eps); #'是转置
print "- obj of total loss is : {}"%obj_total_loss;# 5.验证并分析结果print "";
print "验证结果：-----";param correctNum = sum{i in 0..dataNum-1} if((sum{j in 0..dataDim-1}w[j]*X[i, j]) +b )* y[i] > 0 then 1 else 0 end;
param precision = correctNum / dataNum;
print "- Precision for train data is : {:.2f}" % precision;#
print "";
print "导入测试数据验证效果：-----";param data_dir_test = "./data/iris_data-test.csv";
param X_test = read_csv( data_dir_test, use_col="0,1,2,3",skip=1);
param y_test = read_csv( data_dir_test, use_col=4,skip=1);
param dataNum_test = X_test.row;
param dataDim_test = X_test.col;
print "- 总共有{}个数据，每个数据有{}维"%dataNum_test,dataDim_test;print "|测试数据ID|实际标签|SVM预测标签是|";
print "|--|--|--|";
forall {i in 0..dataNum_test-1}
print "|{}|{}|{}|"%i,y_test[i], if((sum{j in 0..dataDim_test-1}w[j]*X_test[i, j]) +b ) > 0 then 1 else -1 end;

运行上述代码结果如下：

总共有80个数据，每个数据有4维
Param C is :0.2
Start modeling-------
Start solving-------
Running mindoptampl
wantsol=1
MindOpt Version 1.2.1 (Build date: 20240428)
Copyright (c) 2020-2024 Alibaba Cloud.Start license validation (current time : 29-APR-2024 17:51:11).
License validation terminated. Time : 0.007sModel summary.- Num. variables     : 85- Num. constraints   : 80- Num. nonzeros      : 480- Bound range        : [1.0e+00,1.0e+00]- Quad. bound range  : [1.0e+00,1.0e+00]- Objective range    : [2.0e-01,2.0e-01]- Quad. obj. range   : [1.0e+00,1.0e+00]- Matrix range       : [1.0e-01,7.0e+00]Presolver started.
Presolver terminated. Time : 0.000sInterior point method started.Iter         PrimObj         DualObj PrimFea DualFea  GapFea      Mu   Time0 +1.56581101e+01 -1.06624290e+01 2.0e-01 2.6e-01 2.5e+00 6.2e-01   0.02s1 +8.56566249e+00 -7.16779185e-01 5.4e-04 7.6e-03 9.3e+00 6.5e-02   0.04s2 +9.75513434e-01 +2.94267093e-01 2.7e-05 1.4e-03 6.8e-01 4.1e-03   0.05s3 +5.98630319e-01 +4.50898225e-01 4.2e-06 1.5e-04 1.5e-01 8.9e-04   0.05s4 +5.12227038e-01 +4.88329845e-01 1.1e-08 1.2e-03 2.5e-02 1.5e-04   0.05s5 +5.04653750e-01 +5.01437631e-01 9.7e-10 2.0e-04 3.2e-03 1.9e-05   0.06s6 +5.02835294e-01 +5.02808740e-01 2.7e-12 5.4e-07 2.7e-05 1.6e-07   0.06s7 +5.02821164e-01 +5.02821090e-01 7.1e-15 1.5e-09 7.3e-08 4.4e-10   0.06s8 +5.02821125e-01 +5.02821124e-01 1.9e-16 4.1e-12 2.0e-10 1.2e-12   0.06s
Terminated.- Method             : Interior point method.- Primal objective   : 5.0282112458779E-01- Dual objective     : 5.0282112438583E-01- Num. threads       : 4- Num. iterations    : 8- Solver details     : Solver terminated with a primal/dual optimal status.Interior point method terminated. Time : 0.046sOPTIMAL; objective 0.50
0 simplex iterationsCompleted.
- Optimal w is:
[[-0.16610],[ 0.35465],[-0.75422],[-0.32403]]
- Optimal b is:
2.038087831121987
- eps is:- eps[23] = 0.08284647160625058 - eps[24] = 0.05118542249112839 - eps[47] = 0.26241815907236044 - eps[69] = 0.04962685713002854 
- obj of total loss is : 0.5028211245877855验证结果：-----
- Precision for train data is : 1.00导入测试数据验证效果：-----
- 总共有20个数据，每个数据有4维
|测试数据ID|实际标签|SVM预测标签是|
|--|--|--|
|0|1|1|
|1|1|1|
|2|1|1|
|3|1|1|
|4|1|1|
|5|1|1|
|6|1|1|
|7|1|1|
|8|1|1|
|9|1|1|
|10|-1|-1|
|11|-1|-1|
|12|-1|-1|
|13|-1|-1|
|14|-1|-1|
|15|-1|-1|
|16|-1|-1|
|17|-1|-1|
|18|-1|-1|
|19|-1|-1|

结果

上面的程序运行结果如下：
其中，小数后几位是精度影响，每次会有变化，不影响结果。

---

总共有80个数据，每个数据有4维
Param C is :0.2
……

• Optimal w is: [[-0.16610], [ 0.35465], [-0.75422], [-0.32403]]
• Optimal b is: 2.038087831122001
• eps is:
  • eps[23] = 0.08284647160625147
  • eps[24] = 0.051185422491125426
  • eps[47] = 0.26241815907236443
  • eps[69] = 0.049626857130028075
• obj of total loss is : 0.5028211245877853

验证结果：-----

• Precision for train data is : 1.00

导入测试数据验证效果：-----

• 总共有20个数据，每个数据有4维

• 测试数据ID	实际标签	SVM预测标签是
  0	1	1
  1	1	1
  2	1	1
  3	1	1
  4	1	1
  5	1	1
  6	1	1
  7	1	1
  8	1	1
  9	1	1
  10	-1	-1
  11	-1	-1
  12	-1	-1
  13	-1	-1
  14	-1	-1
  15	-1	-1
  16	-1	-1
  17	-1	-1
  18	-1	-1
  19	-1	-1

---

可以看到，对于这份数据，计算的超平面能很好地进行二分类，在测试集合上也有100%的正确率，证实了SVM在实际问题中的有效性。