37、matlab矩阵运算

1、前言

矩阵运算是指对矩阵的各种操作和运算，包括矩阵加法、矩阵减法、矩阵乘法、矩阵转置、求逆矩阵等。以下是常见的矩阵运算：

1. 矩阵加法：对应位置的元素相加，要求加数和被加数的维度相同。

   A + B = | a11 b11 | + | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |

2. 矩阵减法：对应位置的元素相减，要求减数和被减数的维度相同。

   A - B = | a11 b11 | - | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |

3. 矩阵乘法：按照行乘列的方式计算，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

   AB = A的行 * B的列

4. 矩阵转置：将矩阵的行与列进行交换，即将A的第i行第j列元素变为转置矩阵A^T的第j行第i列元素。

   对于矩阵A，A^T表示其转置矩阵。

5. 矩阵求逆：对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求其逆矩阵A^-1。

   如果A是一个可逆矩阵，那么AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

矩阵运算在线性代数、数值分析、工程计算等领域有广泛的应用。例如，在解线性方程组、特征值问题、最小二乘拟合、图像处理等方面都需要用到矩阵运算。熟练掌握矩阵运算的规则和性质对于理解和应用数学模型非常重要。

2、transpose, .' 转置向量或矩阵

语法

B = A.' 返回 A 的非共轭转置，即每个元素的行和列索引都会互换。
B = transpose(A) 是执行 A.' 的另一种方式，它可以为类启用运算符重载。

1）实矩阵转置

代码及运算

A = magic(5)
B = A.'A =17    24     1     8    1523     5     7    14    164     6    13    20    2210    12    19    21     311    18    25     2     9B =17    23     4    10    1124     5     6    12    181     7    13    19    258    14    20    21     215    16    22     3     9

 2）复矩阵转置

代码及运算

A = [1 3 4-1i 2+2i; 0+1i 1-1i 5 6-1i]
B = A.'A =1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i   4.0000 - 1.0000i   2.0000 + 2.0000i0.0000 + 1.0000i   1.0000 - 1.0000i   5.0000 + 0.0000i   6.0000 - 1.0000iB =1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 1.0000i3.0000 + 0.0000i   1.0000 - 1.0000i4.0000 - 1.0000i   5.0000 + 0.0000i2.0000 + 2.0000i   6.0000 - 1.0000i

3、 ctranspose, ' 复共轭转置

语法

B = A' 计算 A 的复共轭转置。
B = ctranspose(A) 是执行 A' 的替代方法

1）实矩阵的共轭转置

代码及运算

A = [2 1; 9 7; 2 8; 3 5]
B = A'A =2     19     72     83     5B =2     9     2     31     7     8     5

2） 复矩阵的共轭转置

代码及运算

A = [0-1i 2+1i;4+2i 0-2i]
B = A'A =0.0000 - 1.0000i   2.0000 + 1.0000i4.0000 + 2.0000i   0.0000 - 2.0000iB =0.0000 + 1.0000i   4.0000 - 2.0000i2.0000 - 1.0000i   0.0000 + 2.0000i

4、 mtimes, * 矩阵乘法

语法

C = A*B 是 A 和 B 的矩阵乘积。
C = mtimes(A,B) 是执行 A*B 这一操作的替代方法

1）将两个向量相乘

代码及运算

A = [1 1 0 0];
B = [1; 2; 3; 4];
C1 = A*B
C2 = B*AC1 =3C2 =1     1     0     02     2     0     03     3     0     04     4     0     0

 2）将两个数组相乘

代码及运算

A = [1 3 5; 2 4 7];
B = [-5 8 11; 3 9 21; 4 0 8];
C = A*BC =24    35   11430    52   162

5、 mpower, ^  矩阵幂

语法

C = A^B 计算 A 的 B 次幂并将结果返回给 C。
C = mpower(A,B) 是执行 A^B 的替代方法，但很少使用。

1）方阵幂运算

代码及运算

A = [1 2; 3 4];
C = A^2C =7    1015    22

 2）矩阵指数

代码及运算

 B = [0 1; 1 0];
C = 2^BC =1.2500    0.75000.7500    1.2500

6、 sqrtm 矩阵平方根

语法

X = sqrtm(A) 返回矩阵 A 的主要平方根（即 X*X = A）。
[X,residual] = sqrtm(A) 还会返回残差 residual = norm(A-X^2,1)/norm(A,1)
[X,alpha,condx] = sqrtm(A) 以 1-范数形式返回稳定因子 alpha 和 X 的矩阵平方根条件数的估计值，即 condx。

1）差分算子的矩阵平方根

代码及运算

A = [5 -4 1 0 0; -4 6 -4 1 0; 1 -4 6 -4 1; 0 1 -4 6 -4; 0 0 1 -4 6]
X = sqrtm(A)A =5    -4     1     0     0-4     6    -4     1     01    -4     6    -4     10     1    -4     6    -40     0     1    -4     6X =2.0015   -0.9971    0.0042    0.0046    0.0032-0.9971    2.0062   -0.9904    0.0118    0.00940.0042   -0.9904    2.0171   -0.9746    0.02630.0046    0.0118   -0.9746    2.0503   -0.92000.0032    0.0094    0.0263   -0.9200    2.2700

 2）具有多个平方根的矩阵

代码及运算

 A = [7 10; 15 22];
Y1 = [1.5667 1.7408; 2.6112 4.1779];
A - Y1*Y1
Y2 = [1 2; 3 4];
A - Y2*Y2
Y = sqrtm(A)ans =1.0e-03 *-0.1258   -0.1997-0.2995   -0.4254ans =0     00     0Y =1.5667    1.74082.6112    4.1779

 7、expm 矩阵指数

语法

Y = expm(X) 计算 X 的矩阵指数。

1）指数运算

代码及运算

A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
expm(A)ans =2.7183    1.7183    1.08620    1.0000    1.26420         0    0.3679

8、 logm 矩阵对数

语法

L = logm(A) 是 A 的主矩阵对数，即 expm(A) 的倒数。

1）矩阵对数

代码及运算

 A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
P = logm(Y)P =-0.3504    0.92941.3940    1.0436

9、cross 叉积

语法

C = cross(A,B) 返回 A 和 B 的叉积。
C = cross(A,B,dim) 计算数组 A 和 B 沿维度 dim 的叉积。

1）向量的叉积

代码及运算

A = [4 -2 1];
B = [1 -1 3];
C = cross(A,B)C =-5   -11    -2

 2）矩阵的叉积

代码及运算

A = randi(15,3,5)
B = randi(25,3,5)
C = cross(A,B)A =13    15     6     3    1011     1    12     8    115     7    12     7    12B =7     5    24     6    1317     3     9    19    1817    13    15     7    23C =102    -8    72   -77    37-186  -160   198    21   -74144    40  -234     9    37

10、 dot 点积

语法

C = dot(A,B) 返回 A 和 B 的标量点积。
C = dot(A,B,dim) 计算 A 和 B 沿维度 dim 的点积。

1）实数向量的点积

代码及运算

A = [4 -1 2];
B = [2 -2 -1];
C = dot(A,B)C =8

 2）复数向量的点积

代码及运算

A = [1+i 1-i -1+i -1-i];
B = [3-4i 6-2i 1+2i 4+3i];
C = dot(A,B)
D = dot(A,A)C =1.0000 - 5.0000iD =8

 3）矩阵的点积

代码及运算

 A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = [9 8 7;6 5 4;3 2 1];
C = dot(A,B)C =54    57    54

 4）多维数组的点积

代码及运算

A = cat(3,[1 1;1 1],[2 3;4 5],[6 7;8 9])
B= cat(3,[2 2;2 2],[10 11;12 13],[14 15; 16 17])
C = dot(A,B,3)A(:,:,1) =1     11     1A(:,:,2) =2     34     5A(:,:,3) =6     78     9B(:,:,1) =2     22     2B(:,:,2) =10    1112    13B(:,:,3) =14    1516    17C =106   140178   220