面试热点题:回溯算法之组合 组合与组合总和 III
什么是回溯算法?
回溯算法也可以叫回溯搜索算法,回溯是递归的"副产品",回溯的本质是穷举,然后选出我们需要的数据,回溯本身不是特别高效的算法,但我们可以通过"剪枝"来优化它。
理解回溯算法
回溯算法的解决可以模拟成树的结构,因为回溯法解决的是在集合中递归搜索子集的过程,集合的大小构成树的宽度,递归的深度构成树的深度。
回溯算法模板
- 确定回溯算法的返回值与参数(一般先写逻辑,然后需要什么参数,就增加什么参数)
- 确定回溯函数的终止条件
- 确定回溯搜查的遍历过程
void BackTracking(参数)
{if (终止条件){处理结果return;}for (选择:本层集合中的元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)){处理节点BackTracking(路径,选择列表);//递归回溯,撤销处理结果}
}
组合
问题:
给定两个整数 n 和 k,返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。
你可以按 任何顺序 返回答案。
来源:力扣(LeetCode)组合
思路一:这种题目我们一眼就能想到使用for循环套循环比如 k==2时
int n = 4;for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = i + 1; j <= n; j++){//处理结果}}
但是如果k越来越大,我们套用的循环也会越来越多,这种暴力解法无疑是不现实的。
思路二:我们在前面说过,可以使用树的结构来模拟回溯递归的过程:
比如n=4 k=2
树的初始集合是[1,2,3,4],从左向右取,取过的数不再取,每次从集合中选取元素,可选择的范围逐渐缩小。有图可以发现,n相当于树的宽度,而k相当于树的深度。我们再由模板来写出最终代码:
class Solution {
public:vector<vector<int>> arr;//存放符合条件的集合vector<int> _arr;//用来存放符合条件的单一数据void BackTracking(int n, int k, int begin){if (_arr.size() == k)//递归终止条件{arr.push_back(_arr);//单一数据存放至总集合里return;}for (int i = begin; i <= n; i++)//控制树的横向遍历{_arr.push_back(i);//处理节点BackTracking(n, k, i + 1);//递归,控制树的纵向遍历,即深度_arr.pop_back();//回溯,撤销处理的节点}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {BackTracking(n, k, 1);return arr;}
};
剪枝优化
如果出现下面情况:
n=4 k=4
那么在第一层for循环中,从元素2开始的遍历都没有意义,因为满足k的数量不够了,所以有图可知,打叉的地方都可以优化掉
优化过程:
- 已经选择的元素个数:_arr.size()
- 还需要的元素个数:k - _arr.size()
优化后的代码:
class Solution {
public:vector<int> _arr;vector<vector<int>> arr;void BackTracking(int n, int k, int begin){if (_arr.size() == k){arr.push_back(_arr);return;}for (int i = begin; i <= n-(k-_arr.size())+1; i++)//剪枝优化{_arr.push_back(i);BackTracking(n, k, i + 1);_arr.pop_back();}}vector<vector<int>> combine(int n, int k) {BackTracking(n, k, 1);return arr;}
};
组合总和 III
问题:
找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合,且满足下列条件:
- 只使用数字1到9
- 每个数字 最多使用一次
返回 所有可能的有效组合的列表 。该列表不能包含相同的组合两次,组合可以以任何顺序返回。
来源:力扣(LeetCode)组合总和 III
思路:这个题相对于上一个题来说,就是k为树的深度,而集合固定为1到9,也就是树的宽度为9
比如:k=2 只取两个数
代码:
class Solution {
public:vector<vector<int>> arr;vector<int> _arr;void BackTracking(int k,int n,int begin,int sum){if(_arr.size()==k)//终止条件{if(sum==n)//满足题意{arr.push_back(_arr);}return;}for(int i=begin;i<=9;i++)//横向遍历{sum+=i;//收集元素总和_arr.push_back(i);//收集元素BackTracking(k,n,i+1,sum);//递归,纵向遍历sum-=i;//回溯_arr.pop_back();//回溯}}vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {BackTracking(k,n,1,0);return arr;}
};
剪枝优化
如果我们选择的元素总和已经大于n,那么我们再往后遍历的总和肯定也大于n,就没有继续遍历下去的意义了。元素个数方面,同样与上一题一样能继续优化。
优化后:
class Solution {
public:vector<vector<int>> arr;vector<int> _arr;void BackTracking(int k,int n,int begin,int sum){if(sum>n)//剪枝条件{return;}if(_arr.size()==k){if(sum==n){arr.push_back(_arr);}return;}for(int i=begin;i<=9-(k-_arr.size())+1;i++)//元素个数的优化{sum+=i;_arr.push_back(i);BackTracking(k,n,i+1,sum);sum-=i;_arr.pop_back();}}vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {BackTracking(k,n,1,0);return arr;}
};
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