期权无风险套利（Risk-Free Arbitrage）举例以及期权无套利定价公式

期权市场的无风险套利

中文版

期权市场中的套利实例

为了清楚地说明，让我们通过一个现实的例子来展示套利。

期权市场中的套利实例

假设市场上有以下价格：

• 标的股票价格：100美元
• 欧式看涨期权（行权价100美元，3个月到期）：8美元
• 欧式看跌期权（行权价100美元，3个月到期）：5美元
• 无风险利率：2%（年化）

我们使用一个经典的套利策略，称为“转换套利”：

转换套利策略

转换套利涉及买入标的股票、买入看跌期权并卖出看涨期权。如果期权与标的股票之间存在定价错误，此策略可以锁定无风险利润。

逐步过程：

1. 买入标的股票：

   • 以100美元购买1股XYZ公司股票。

2. 买入欧式看跌期权：

   • 以5美元购买一个行权价为100美元的看跌期权。

3. 卖出欧式看涨期权：

   • 以8美元卖出一个行权价为100美元的看涨期权。

总初始投资：

• 购买股票：100美元
• 购买看跌期权：5美元
• 卖出看涨期权：-8美元（你收到8美元）

总初始投资 = 100美元（股票） + 5美元（看跌期权） - 8美元（看涨期权） = 97美元

到期时的收益：

无论股票价格在到期时是多少，你的头寸都是对冲的：

1. 如果股票价格高于100美元（例如110美元）：

   • 看跌期权作废。
   • 看涨期权被执行，你以100美元卖出股票。
   • 你收到100美元。

2. 如果股票价格低于100美元（例如90美元）：

   • 看跌期权被执行，你以100美元卖出股票。
   • 看涨期权作废。
   • 你收到100美元。

在这两种情况下，你到期时都得到100美元。

利润计算：

• 到期时收到的总金额：100美元
• 总初始投资：97美元

利润 = 100美元 - 97美元 = 3美元

这是由于期权相对于标的股票的初始定价错误而获得的无风险利润3美元。

无套利例子

在一个无套利市场中，不会存在这样的差异。看涨期权和看跌期权的价格会与股票价格和无风险利率对齐，以便上述策略不会产生无风险利润。

无套利条件下的期权定价实际例子

在无套利条件下，期权的价格应该符合以下无套利定价公式：

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

其中：

• ( C ) 是看涨期权的价格
• ( P ) 是看跌期权的价格
• ( S ) 是股票价格
• ( K ) 是行权价
• ( r ) 是无风险利率
• ( t ) 是到期时间

实例说明

假设以下市场条件：

• 标的股票价格（S）：100美元
• 行权价（K）：100美元
• 无风险利率（r）：2%（年化）
• 到期时间（t）：3个月（即0.25年）

我们需要验证期权价格是否满足无套利条件。假设当前市场价格：

• 看涨期权价格（C）：8美元
• 看跌期权价格（P）：4.5美元

现在，我们将这些数值代入无套利定价公式来验证：

计算无套利定价公式

首先计算右边的表达式 ( $K\times e^{-rt}$ )：

$K\times e^{-rt}=100\times e^{-0.02\times 0.25}$

计算 ( $e^{-0.02\times 0.25}$ ):

$e^{-0.005}\approx 0.995$

因此：

$100\times 0.995=99.5$

代入公式：

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

左边是：

8 - 4.5 = 3.5

右边是：

100 - 99.5 = 0.5

显然，这里不满足无套利条件。

调整后的无套利定价

为了满足无套利条件，我们需要调整看跌期权的价格，使公式成立：

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

即：

$8-P=100-99.5$

$8-P=0.5$

$P=8-0.5=7.5$

所以，在无套利条件下，看跌期权的价格应为7.5美元。

总结

• 看涨期权价格（C）：8美元
• 看跌期权价格（P）：7.5美元

在这个调整后的例子中：

$8-7.5=100-99.5$

$0.5=0.5$

这满足了无套利条件。因此，市场在这种情况下没有套利机会，所有期权价格是合理的。

结合前面的无风险套利实例

前面的套利例子中，通过构建保护性看跌和备兑看涨策略，我们发现期权价格存在偏差，导致无风险利润。现在，我们通过无套利条件调整了看跌期权的价格，使其符合市场有效性，从而消除了套利机会。

这个例子说明了在无套利市场中，期权价格如何通过无套利定价公式保持一致，以防止套利机会。

英文版

Example of Arbitrage in the Options Market

To illustrate more clearly, let’s go through a more realistic example of arbitrage.

Example of Arbitrage in the Options Market

Assume the following market prices:

• Underlying stock price: $100
• European call option (strike price $100, 3 months to expiry): $8
• European put option (strike price $100, 3 months to expiry): $5
• Risk-free interest rate: 2% (annualized)

We will use a classic arbitrage strategy known as a “conversion arbitrage.”

Conversion Arbitrage Strategy

Conversion arbitrage involves buying the underlying stock, buying a put option, and selling a call option. If there is a pricing discrepancy between the options and the underlying stock, this strategy can lock in a risk-free profit.

Step-by-Step Process:

1. Buy the underlying stock:

   • Purchase 1 share of XYZ company stock at $100.

2. Buy a European put option:

   • Purchase a put option with a strike price of $100 for $5.

3. Sell a European call option:

   • Sell a call option with a strike price of $100 for $8.

Total Initial Investment:

• Purchase of stock: $100
• Purchase of put option: $5
• Sale of call option: -$8 (you receive $8)

Total initial investment = $100 (stock) + $5 (put option) - $8 (call option) = $97

Payoff at Expiration:

Regardless of the stock price at expiration, your positions are hedged:

1. If the stock price is above $100 (e.g., $110):

   • The put option expires worthless.
   • The call option is exercised, and you sell the stock at $100.
   • You receive $100.

2. If the stock price is below $100 (e.g., $90):

   • The put option is exercised, and you sell the stock at $100.
   • The call option expires worthless.
   • You receive $100.

In both cases, you receive $100 at expiration.

Profit Calculation:

• Total amount received at expiration: $100
• Total initial investment: $97

Profit = $100 - $97 = $3

This $3 risk-free profit is due to the initial mispricing of the options relative to the stock.

Example of No-Arbitrage

In a no-arbitrage market, such discrepancies would not exist. The prices of call and put options would align with the stock price and the risk-free interest rate, preventing such risk-free profits from being made.

Example of No-Arbitrage Pricing in the Options Market

In a no-arbitrage market, option prices should satisfy the following no-arbitrage pricing formula:

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

where:

• ( C ) is the price of the call option
• ( P ) is the price of the put option
• ( S ) is the stock price
• ( K ) is the strike price
• ( r ) is the risk-free interest rate
• ( t ) is the time to expiration

Example Illustration

Assume the following market conditions:

• Stock price (S): $100
• Strike price (K): $100
• Risk-free interest rate ( r): 2% (annualized)
• Time to expiration (t): 3 months (or 0.25 years)

We need to verify if the option prices meet the no-arbitrage condition. Assume the current market prices are:

• Call option price ( C): $8
• Put option price ( P): $4.5

Let’s plug these values into the no-arbitrage pricing formula to verify:

Calculating the No-Arbitrage Pricing Formula

First, calculate the right side of the equation ( $K\times e^{-rt}$ ):

$K\times e^{-rt}=100\times e^{-0.02\times 0.25}$

Calculate ( $e^{-0.02\times 0.25}$ ):

$e^{-0.005}\approx 0.995$

Thus:

$100\times 0.995=99.5$

Substitute into the formula:

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

Left side:

$8-4.5=3.5$

Right side:

$100-99.5=0.5$

Clearly, this does not satisfy the no-arbitrage condition.

Adjusted No-Arbitrage Pricing

To satisfy the no-arbitrage condition, we need to adjust the put option price so that the formula holds:

$C-P=S-K\times e^{-rt}$

So:

$8-P=100-99.5$

$8-P=0.5$

$P=8-0.5=7.5$

Therefore, under the no-arbitrage condition, the put option price should be $7.5.

Summary

• Call option price ( C): $8
• Put option price ( P): $7.5

In this adjusted example:

$8-7.5=100-99.5$

$0.5=0.5$

This satisfies the no-arbitrage condition. Thus, the market in this case has no arbitrage opportunities, and all option prices are fair.

Relating to the Previous Risk-Free Arbitrage Example

In the previous arbitrage example, we identified a pricing discrepancy through the protective put and covered call strategy, leading to a risk-free profit. Now, by adjusting the put option price to meet the no-arbitrage condition, we ensure market efficiency and eliminate the arbitrage opportunity.

This example illustrates how option prices, in a no-arbitrage market, are aligned by the no-arbitrage pricing formula to prevent arbitrage opportunities.

后记

2024年6月16日于上海。基于GPT4o模型。