[C++][数据结构][跳表]详细讲解

---

0.什么是跳表？

• SkipList本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型
• SkipList，是在有序链表的基础上发展起来的
  • 如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是$O(N)$

---

1.SkipList的优化思路

• 假如每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示

  • 这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半
  • 由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半

• 以此类推，可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表，这样搜索效率就进一步提高了，如下图c

• SkipList正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的

• 实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到$O(lo{g}_{2}N)$

• 但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题

  • 插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系

  • 如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点(也包括新插入的节点)重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)

    

• SkipList的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理

  • 不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数

  • 这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数， 这样就好处理多了

    

---

2.SkipList的效率如何保证？

• SkipList插入一个节点时随机出一个层数，听起来这么随意，如何保证搜索时的效率呢？

• 首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的

  • 一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制
  • 其次会设置一个多增加一层的概率p
  • 计算这个随机层数的伪代码如下图：
    

• **参考：**在Redis的SkipList实现中，这两个参数的取值为：

  p = 1/4;
  maxLevel = 32;
  

• 根据前面randomLevel()的伪代码，产生越高的节点层数，概率越低

  • 节点层数至少为1，而大于1的节点层数，满足一个概率分布
  • 节点层数恰好等于1的概率为$1-p$
  • 节点层数大于等于2的概率为$p$，而节点层数恰好等于2的概率为$p\ast (1-p)$
  • 节点层数大于等于3的概率为$p^2$，而节点层数恰好等于3的概率为$p^2\ast (1-p)$
  • 节点层数大于等于4的概率为$p^3$，而节点层数恰好等于4的概率为$p^3\ast (1-p)$

• 因此，一个节点的平均层数(即包含的平均指针数目)，计算如下：

  • 当$p=1/2$时，每个节点所包含的平均指针数目为2
  • 当$p=1/4$时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33
    

• SkipList的平均时间复杂度为：$O(logN)$，

---

3.SkipList实现

• 插入结点的关键是找到这个位置的每一层前一个结点
  • 比它小，向下走
  • 比它大，向右走

struct SkipListNode
{int _val;vector<SkipListNode*> _nextV;SkipListNode(int val, int level): _val(val), _nextV(level, nullptr){}
};class Skiplist
{typedef SkipListNode Node;
public:Skiplist(){srand(time(nullptr));_head = new Node(-1, 1); // 头节点，层数是1}bool Search(int target){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;while (level >= 0){if (cur->_nextV[level] && target > cur->_nextV[level]->_val){// 目标值比下一个结点值大，向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (!cur->_nextV[level] || target < cur->_nextV[level]->_val){// 下一个结点是空(尾) || 目标值比下一个节点值要小，向下走level--;}else{return true;}}return false;}void Add(int num){vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);int n = RandomLevel();Node* newnode = new Node(num, n);// 如果n超过当前最大的层数，那就升高一下_head的层数if (n > _head->_nextV.size()){_head->_nextV.resize(n, nullptr);preV.resize(n, _head);}// 链接前后结点for (size_t i = 0; i < n; i++){newnode->_nextV[i] = preV[i]->_nextV[i];preV[i]->_nextV[i] = newnode;}}bool Erase(int num){vector<Node*> preV = FindPrevNode(num);// 第一层下一个不是val，则val不在表中if (!preV[0]->_nextV[0] || preV[0]->_nextV[0]->_val != num){return false;}Node* del = preV[0]->_nextV[0];// del结点每一层前后指针链接起来for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++){preV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];}delete del;// 如果删除最高层结点，把头节点的层数也降一下// 可以稍微提高查找效率int i = _head->_nextV.size() - 1;while (i >= 0){if (!_head->_nextV[i]){i--;}else{break;}}_head->_nextV.resize(i + 1);return true;}// SkipList精髓vector<Node*> FindPrevNode(int num){Node* cur = _head;int level = _head->_nextV.size() - 1;// 插入位置每一层前一个结点指针vector<Node*> preV(level + 1, _head);while (level >= 0){if (cur->_nextV[level] && num > cur->_nextV[level]->_val){// 目标值比下一个结点值大，向右走cur = cur->_nextV[level];}else if (!cur->_nextV[level] || num <= cur->_nextV[level]->_val){preV[level--] = cur;}}return preV;}// v1.0 Cint RandomLevel(){size_t level = 1;// rand() / RAND_MAX -> [0, 1]while (rand() <= RAND_MAX * _p && level <= _maxLevel){level++;}return level;}// v2.0 C++// int RandomLevel()// {//     static std::default_random_engine generator(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());// 	static std::uniform_real_distribution<double> distribution(0.0, 1.0);// 	size_t level = 1;// 	while (distribution(generator) <= _p && level < _maxLevel)// 	{// 		++level;// 	}// 	return level;// }
private:Node* _head;size_t _maxLevel = 32;double _p = 0.5;
};

---

4.SkipList VS 平衡搜索树 && Hash

• SkipList相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多
  • SkipList的优势：
    • SkipList实现简单，容易控制
      • 平衡树增删查改遍历都更复杂
    • SkipList的额外空间消耗更低
      • 平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗
      • SkipList中$p=1/2$时，每个节点所包含的平均指针数目为2
      • SkipList中$p=1/4$时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33
• SkipList相比哈希表而言，就没有那么大的优势了
  • SkipList劣势：
    • 哈希表平均时间复杂度是 O(1)，比SkipList快
    • 哈希表空间消耗略多一点
  • SkipList优势：
    • 遍历数据有序
    • SkipList空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗
    • 哈希表扩容有性能损耗
    • 哈希表在极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力