数据结构 —— 最小生成树

今天我们来看一下最小生成树：

我们之前学习的遍历算法并没有考虑权值，仅仅就是遍历结点：
今天的最小生成树要满足几个条件：

1. 考虑权值
2. 所有结点联通
3. 权值之和最小
4. 无环

什么是最小生成树

最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是指在一个加权的、无向的连通图中，由所有顶点构成的一个子图，这个子图是一棵树，并且其所有边的权重之和最小。换句话说，最小生成树是在保证图中所有顶点连通的前提下，使得连接这些顶点的边的总成本最低的一棵树。

最小生成树具有以下特性：

1. 它包含图中的所有顶点。
2. 它是一个没有环的连通子图（即树）。
3. 它的边数比顶点数少一（对于 n 个顶点的图，有 n-1 条边）。
4. 它的边的总权重是所有可能生成树中最小的。

最小生成树在很多实际应用中都有重要作用，例如在设计电信网络时，为了连接多个地点而需要铺设电缆或光纤，最小生成树可以用来确定一种成本最低的铺设方案。

求解最小生成树的常用算法包括：

• Kruskal算法：此算法通过不断选择权重最小的边来构建最小生成树，同时避免添加会导致环路形成的边。它通常利用并查集（Disjoint Set Union）数据结构来检测环路。
• Prim算法：此算法从任意一个顶点开始，逐步将顶点及其权重最小的连接边加入到生成树中，直到所有顶点都被包含进来。Prim算法可以使用优先队列（Priority Queue）来高效地选择下一个应加入的边。

我们今天就来介绍一下这两种算法：

Kruskal算法

Kruskal算法，简单来说，就是把所有边拿出来，从小到大挑边，构成最小生成树：

Kruskal算法是一种用于寻找加权、无向连通图的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的贪心算法。它的核心思想是在不形成任何环路的情况下，选择权重最小的边来构建生成树，直到所有的顶点都被包含在树中。

以下是Kruskal算法的主要步骤：

1. 排序边：将图中所有的边按照权重从小到大排序。
2. 初始化森林：创建一个森林，其中每个顶点都是一个单独的树（即每个顶点都是一个独立的连通分量）。
3. 选择边：遍历排序后的边列表。对于每条边，检查它的两个端点是否已经在同一棵树中（即是否属于同一个连通分量）。如果不是，将这条边添加到最小生成树中，并将这两个顶点所在的树合并成一棵更大的树。
4. 重复步骤3：继续选择满足条件的边，直到最小生成树中包含了图中的所有顶点，或者已经选择了n-1条边（其中n是顶点的数量）。

Kruskal算法的关键在于能够快速地检测边的两个端点是否属于同一棵树，这通常是通过使用并查集（Union-Find）数据结构来实现的。并查集允许我们在对数时间内执行“查找”操作（确定顶点所属的树）和“合并”操作（将两棵树合并成一棵树）。

// 使用Kruskal算法计算最小生成树的总权重
W Kruskal(Self& minTree) // Self应为当前类的引用，minTree是用于存储最小生成树的实例
{// 初始化最小生成树的顶点集和索引minTree._vertex = _vertex;minTree._index = _index;minTree._matrix.resize(_vertex.size()); // 创建一个邻接矩阵，用于存储最小生成树中的边的权重for (auto& e : minTree._matrix) // 将邻接矩阵的所有元素初始化为最大权重值MAX_W{e.resize(_vertex.size(), MAX_W);}// 创建一个优先级队列，用于存储边的信息priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;// 将所有边（除了自环和重复边）加入优先级队列for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++) {for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); j++) {if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W) // 确保不加入自环和重复边{pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j])); // 将边加入优先级队列}}}// 初始化变量，用于记录最小生成树的总权重和边的数量W total = W();int size = 0;UnionFindSet ufs(_vertex.size()); // 创建并查集，用于判断顶点是否已经连接while (!pq.empty()) // 当优先级队列非空时{Edge min = pq.top(); // 取出权重最小的边pq.pop(); // 移除已取出的边// 判断边的两个顶点是否已经在同一集合内（即是否已经连接）if (!ufs.InSet(min._srci, min._desi)) {cout << _vertex[min._srci] << "-" << _vertex[min._desi] << ":" << _matrix[min._srci][min._desi] << endl; // 打印边的信息minTree._AddEdge(min._srci, min._desi, min._w); // 将边加入最小生成树total += min._w; // 更新最小生成树的总权重ufs.Union(min._srci, min._desi); // 合并两个顶点所在的集合++size; // 增加边的数量}}cout << endl;minTree.Print(); // 打印最小生成树// 如果边的数量等于顶点数量减一，则返回最小生成树的总权重if (size == _vertex.size() - 1){return total;}else{return W(); // 否则返回默认权重值（可能表示无法形成最小生成树）}
}

我们可以来测试一下：

	void TestGraph2(){string a[] = {"海皇","高斯","小傲","小潮","胖迪","小杨","皖皖"};Graph<string, int,INT_MAX, false> g1(a, sizeof(a)/sizeof(a[0]));g1.AddEdge("小潮", "小傲", 30);g1.AddEdge("小潮", "高斯", 83);g1.AddEdge("小潮", "海皇", 34);g1.AddEdge("胖迪", "海皇", 78);g1.AddEdge("胖迪", "小傲", 76);g1.AddEdge("小杨", "皖皖", 54);g1.AddEdge("小杨", "高斯", 48);g1.Print();cout << endl;Graph<string, int, INT_MAX, false> kminTree;cout << "Kruskal:" << g1.Kruskal(kminTree) << endl;}

按照Kruskal算法，构建出来的图是这样的：
胖迪和海皇的关系被抹除了，其实我们之前的图里有环：

Kruskal算法的时间复杂度主要取决于排序边的操作和并查集的效率。在最好的情况下，排序边的时间复杂度为O(E log E)，其中E是边的数量；并查集操作的时间复杂度接近常数，因此整个算法的时间复杂度近似为O(E log E)。由于排序的主导作用，该算法适用于边的数量远小于顶点数量平方的图，即稀疏图。

Prim算法

Prim算法和上面的思想差不多，但是，Prim算法会从一个顶点开始，这里我假设是从"小潮"开始：

跟小潮连接的3条边，会进入优先级队列，维护起来：
接下来，会选择30的权重来构造，然后30这条边的另一边的小傲的边入优先级队列：

以此类推：

// 使用Prim算法构建并返回最小生成树的总权重
W Prim(Self& minTree, const V& vertex) // Self应该是当前类的引用，minTree是用于存储最小生成树的实例，vertex是顶点的容器
{// 初始化最小生成树的顶点集和索引minTree._vertex = _vertex;minTree._index = _index;minTree._matrix.resize(_vertex.size()); // 创建一个邻接矩阵，用于存储最小生成树中的边的权重// 初始化邻接矩阵的所有元素为最大权重值MAX_Wfor (auto& e : minTree._matrix){e.resize(_vertex.size(), MAX_W);}// 区分顶点集合：已选择和未选择size_t srcIndex = FindSrci(vertex); // 找到起始顶点的索引vector<bool> select(_vertex.size(), false); // 已选择顶点集合，初始时所有顶点都未选择vector<bool> non_select(_vertex.size(), true); // 未选择顶点集合，初始时所有顶点都未被选择select[srcIndex] = true; // 起始顶点被标记为已选择non_select[srcIndex] = false; // 起始顶点从未选择集合中移除// 创建一个优先级队列，用于存储待处理的边priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq; // 边按权重从小到大排序// 将起始顶点的邻接边加入优先级队列for (int i = 0; i < _vertex.size(); i++){if (_matrix[srcIndex][i] != MAX_W) // 如果存在边，且不是最大权重（表示边存在）{pq.push(Edge(srcIndex, i, _matrix[srcIndex][i])); // 加入边信息到优先级队列}}// 初始化计数器和总权重size_t size = 0;W total = W(); // 初始化总权重为0// 当优先级队列非空时while (!pq.empty()){Edge min = pq.top(); // 获取当前权重最小的边pq.pop(); // 从队列中移除已处理的边// 如果目标顶点已被选择，跳过这条边if (select[min._desi]) continue;// 输出边的信息cout << _vertex[min._srci] << "-" << _vertex[min._desi] << ":" << _matrix[min._srci][min._desi] << endl;// 添加边到最小生成树minTree._AddEdge(min._srci, min._desi, min._w);// 标记目标顶点为已选择select[min._desi] = true;non_select[min._desi] = false;++size; // 已处理的边数量加1total += min._w; // 更新总权重// 将新加入顶点的邻接边加入优先级队列for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){if (_matrix[min._desi][i] != MAX_W && non_select[i]) // 如果存在边且目标顶点未被选择{pq.push(Edge(min._desi, i, _matrix[min._desi][i])); // 加入边信息到优先级队列}}}// 打印最小生成树minTree.Print();// 如果边的数量等于顶点数量减一，则返回最小生成树的总权重if (size == _vertex.size() - 1){return total;}else{return W(); // 否则返回默认权重值（可能表示无法形成最小生成树）}
}

	void TestGraph2(){string a[] = {"海皇","高斯","小傲","小潮","胖迪","小杨","皖皖"};Graph<string, int,INT_MAX, false> g1(a, sizeof(a)/sizeof(a[0]));g1.AddEdge("小潮", "小傲", 30);g1.AddEdge("小潮", "高斯", 83);g1.AddEdge("小潮", "海皇", 34);g1.AddEdge("胖迪", "海皇", 78);g1.AddEdge("胖迪", "小傲", 76);g1.AddEdge("小杨", "皖皖", 54);g1.AddEdge("小杨", "高斯", 48);g1.Print();cout << endl;Graph<string, int, INT_MAX, false> kminTree;cout << "Kruskal:" << g1.Kruskal(kminTree) << endl;cout << endl;Graph<string, int, INT_MAX, false> pminTree;cout << "Prim:" << g1.Prim(pminTree,"小潮") << endl;}

Prim算法同样是用于寻找加权无向图的最小生成树(Minimum Spanning Tree, MST)的一种贪心算法。与Kruskal算法不同的是，Prim算法从一个顶点开始，逐步添加最短的边来扩展树，直到包含所有的顶点。

Prim算法基本步骤：

1. 选择任意一个顶点作为起始顶点。
2. 在当前树的顶点的邻接边中找到权重最小的边，将这条边添加到树中，并将新的顶点也添加进来。
3. 重复步骤2，直到树包含所有的顶点。

这是两种算法挑选边的过程和最后结果，大家可以类比对比：

		//Kruskal算法W Kruskal(Self& minTree){//初始化minTree._vertex = _vertex;minTree._index = _index;minTree._matrix.resize(_vertex.size());for (auto& e : minTree._matrix){e.resize(_vertex.size(), MAX_W);}//优先级队列priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); j++){if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W){pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));}}}//拿边构造最小生成树W totoal = W();int size = 0;UnionFindSet ufs(_vertex.size());while (!pq.empty()){Edge min = pq.top();//出边pq.pop();//判断是否在同一集合if (!ufs.InSet(min._srci ,min._desi)){cout << _vertex[min._srci] << "-" << _vertex[min._desi] <<":" << _matrix[min._srci][min._desi] << endl;minTree._AddEdge(min._srci, min._desi, min._w);totoal += min._w;//合并ufs.Union(min._srci, min._desi);++size;}}cout << endl;minTree.Print();if (size == _vertex.size() - 1){return totoal;}else{return W();}}W Prim(Self& minTree,const V& vertex){//初始化minTree._vertex = _vertex;minTree._index = _index;minTree._matrix.resize(_vertex.size());for (auto& e : minTree._matrix){e.resize(_vertex.size(), MAX_W);}//区分集合size_t srcIndex = FindSrci(vertex);vector<bool> select(_vertex.size(), false);vector<bool> non_select(_vertex.size(), true);select[srcIndex] = true;non_select[srcIndex] = false;//开始入边priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;for (int i = 0; i < _vertex.size(); i++){if (_matrix[srcIndex][i] != MAX_W){pq.push(Edge(srcIndex, i, _matrix[srcIndex][i]));}}size_t size = 0;W totoal = W();while (!pq.empty()){Edge min = pq.top();pq.pop();if (select[min._desi])continue;cout << _vertex[min._srci] << "-" << _vertex[min._desi] <<":" << _matrix[min._srci][min._desi] << endl;minTree._AddEdge(min._srci, min._desi, min._w);select[min._desi] = true;non_select[min._desi] = false;++size;totoal += min._w;//新入的顶点的边也加入到优先级队列for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){if (_matrix[min._desi][i] != MAX_W && non_select[i]){pq.push(Edge(min._desi, i, _matrix[min._desi][i]));}}}minTree.Print();if (size == _vertex.size() - 1){return totoal;}else{return W();}}