[笔记] 卷积 - 01 变速箱需要放置多少个加速度传感器？

1.讨论范围

本帖主要对卷积运算的过程和物理意义进行基本的展开，不涉及具体的验算过程。

最终所要达成的目标是，能够自然地判断某种物理现象或者某个测量目标是否与卷积运算有关，以及如何进行测量，搜集数据，调用三方运算库进行验算，达到工程方面的目的。

刚刚开始没有多久，意外地得到了两个重要的发现：

1.是卷积运算的时域形式和频域形式，这两种模式的分类和验算过程让我非常吃惊。时域进行卷积的物理意义我是清楚的。滤波器，就是发生在频域的卷积运算这个判断让我非常惊讶。

2.是意外得到了对振动体进行测量时的传感器点位的配置原则。就是那个刚体近似与驻波的问题。这个部分待验算，但是我非常清楚变速箱有谐振的问题。如果它属实，它们对振动体的振动测量要投入更多的传感器——起码加倍，将不可避免。

附录A 卷积运算与振动传感器的数量

1.卷积运算过程会涉及到两个信号，一个是激励源信号，一个是响应函数，对吧？

卷积运算确实涉及两个信号：一个是输入信号（有时称为激励源信号或输入函数），另一个是系统的响应函数（也称为冲击响应、系统函数或核函数）。在卷积运算中，输入信号与响应函数进行数学上的运算，产生输出信号，用来描述系统对输入信号的响应或变换过程。

2.卷积是从历史时刻的起始点t0到当前时刻t为止，所有的源激励信号与系统响应函数延时间轴的逐点积分？这个描述有什么不妥的地方吗？

描述中有一些不准确的地方。让我来帮助澄清一下：

卷积操作确实涉及到源激励信号（即输入信号）和系统响应函数（即响应函数或核函数），但是卷积的定义和操作方式稍有不同：

卷积的定义：卷积是一种数学运算，描述了两个信号之间的关系，通常用符号 “*” 表示。对于离散信号，卷积可以表示为两个序列的逐点乘积之和。

卷积的操作：在时间域中，卷积将输入信号（激励源信号）与系统的响应函数（或冲击响应）进行积分，但这不是简单的逐点积分。具体来说：

对于连续时间信号：卷积是将两个信号在时间上重叠并乘积的积分。
对于离散时间信号：卷积是将输入信号的每个时间点与响应函数进行乘积，并将结果相加。
积分的范围：卷积不是从起始点t0到当前时刻t的所有积分，而是从负无穷到正无穷积分。这意味着卷积考虑了整个时间轴上的信号交互，而不仅仅是从t0到t的部分。

所以，修正描述可以是：

卷积是一种将输入信号与系统响应函数进行数学操作的方法，通过在时间轴上的重叠和积分来生成输出信号，描述系统对输入信号的响应或变换过程。

3.所以，它能反映出不断生发出的激励信号，在整个时间轴上，遗留的踪迹？

是的，卷积操作可以反映出整个时间轴上激励信号的影响或留下的痕迹。它考虑了激励信号与系统响应函数在时间上的交互作用，不仅仅局限于特定时刻的响应。通过卷积，我们能够理解系统如何处理输入信号并产生输出信号，以及这种处理如何随时间演变。

3.系统响应函数的自变量和因变量分别是什么，是不是它实际是在频域的？

系统响应函数的自变量通常表示时间（对于时域系统），而因变量表示系统的响应（输出信号）。在频域中，系统的响应函数通常用传递函数或频率响应函数来描述，其自变量是频率，而因变量是幅度和相位响应。

具体来说：

时域中的系统响应函数：通常表示为h(t)，其中t表示时间。系统对输入信号的响应可以通过与输入信号的卷积来描述，即y(t) = x(t) * h(t)，其中x(t)是输入信号，y(t)是输出信号。

频域中的系统响应函数：可以用传递函数H(ω)（其中ω为角频率）或频率响应函数来描述系统的特性。传递函数是输入和输出之间的关系，可以通过傅里叶变换从时域到频域得到。

总结来说，系统响应函数的自变量和因变量取决于所讨论的是时域还是频域系统描述：

时域系统：自变量是时间，因变量是信号的幅度。
频域系统：自变量是频率，因变量是幅度和相位。
因此，当讨论系统响应函数时，需要明确是在时域还是频域，并据此定义其自变量和因变量。

4.因为时域和频域的映射性，事实上卷积运算既可以在时域，也可以在频域进行？

确实，卷积运算可以在时域和频域两种域中进行，这取决于输入信号和系统响应函数的表示方式以及问题的求解需求。

时域中的卷积：在时域中，卷积是通过两个信号的逐点乘积和积分得到的。如果输入信号和系统响应函数都是时域中的函数（例如连续时间函数或离散时间序列），则卷积可以直接在时域中计算。

频域中的卷积：在频域中，卷积可以通过两个信号的傅里叶变换、乘积和逆傅里叶变换来实现。这种方法在处理特定类型的系统和信号时可能更为方便，因为在频域中进行乘积通常比在时域中的积分更简单。

选择时域或频域进行卷积运算的依据通常是问题的特性和解决方案的可行性：

时域卷积适合处理具有复杂的时间动态特性或需要考虑信号时间变化的系统。
频域卷积适合处理频谱特性明显、频率响应关键的系统，例如滤波器设计或频率域处理。
因此，时域和频域的卷积操作都是有效的数学工具，可根据问题的要求和信号的特性选择合适的方法进行计算和分析。

5.等等，你的意思是滤波器对原始信号的作用实际展现出的效果就是一个卷积运算？

对的，滤波器对原始信号的作用可以用卷积来描述。在信号处理中，滤波器通常被用来改变信号的频率特性或时域特性，以达到特定的信号处理目的，比如去除噪声或强调特定频率成分。

具体来说，如果我们有一个原始信号 ( x(t) ) 和一个滤波器的响应函数 ( h(t) )，那么滤波器对信号的作用 ( y(t) ) 可以表示为：

[ y(t) = x(t) * h(t) ]

这里的 ( * ) 表示卷积操作。在时域中，这意味着我们将信号 ( x(t) ) 与滤波器的响应函数 ( h(t) ) 进行卷积，从而得到输出信号 ( y(t) )。这个输出信号 ( y(t) ) 可能具有被强调或者被抑制了特定频率成分的特性，这取决于滤波器的设计和响应函数 ( h(t) ) 的形状。

在频域中，滤波器的作用可以通过频率响应函数 ( H(\omega) ) 来描述，其中 ( \omega ) 是频率。频率响应函数 ( H(\omega) ) 是滤波器的傅里叶变换。因此，滤波器的作用可以通过原始信号的傅里叶变换、乘以滤波器的频率响应函数 ( H(\omega) )，再进行逆傅里叶变换来得到。

总之，无论是在时域还是在频域，滤波器的作用都可以理解为对原始信号进行卷积运算，这个过程决定了信号在滤波器作用下的最终形态和特性。

6.振动信号需要考虑振动体的响应吗？或者他只是一个强制的外部输入信号？

振动信号的处理通常需要考虑振动体的响应，因为振动信号是通过振动体传递的。振动体的响应可以通过其动力学模型来描述，这个模型会反映出振动体对外部激励（振动信号）的反应特性，包括其振动模态、频率响应等。

具体来说，振动信号作为一个外部输入信号，会作用于振动体上。振动体对这个输入信号的响应取决于其本身的物理特性，例如质量、刚度、阻尼等。这种响应可以通过振动体的传递函数或者响应函数来描述，这些函数通常通过实验测量或者数学建模来获取。

因此，要全面理解振动信号的影响，我们需要考虑振动体的动态响应。这种响应可以通过卷积操作来分析，特别是在时域中，通过振动信号与振动体响应函数的卷积可以得到振动体的输出响应，即振动体的运动或变形情况。

总结而言，振动信号不仅仅是一个强制的外部输入信号，它的最终效果需要考虑振动体本身的响应特性。这种响应特性可以通过振动体的动力学模型来建模和分析，从而揭示振动信号在系统中的传递和影响过程。

7.但是振动源的频率完全决定了振动体上各点的频谱特征，我这个理解对吗？

你的理解基本上是正确的。振动源的频率确实是影响振动体上各点频谱特征的关键因素。

振动源产生的信号（可以是单一频率或者复合频率），会作用于振动体的不同部位。振动体对不同频率的响应取决于其自身的振动模态和频率响应。振动体的频率响应函数描述了不同频率信号在振动体内部传播时的衰减或增强程度，这可以影响振动体各个点的振幅和相位。

因此，振动源的频率直接决定了振动体在不同频率上的响应特征和频谱分布。这一点在设计和分析振动系统时非常重要，因为它影响到系统的动态特性、共振情况以及振动传递的效率和效果。

总结来说，振动源的频率对振动体上各点的频谱特征确实有显著影响，这是分析和理解振动系统行为时需要考虑的重要因素之一。

8.对于工业机械振动而言，比如变速箱，他可以视作近似刚体吗？我们无需考虑振动在变速箱的驻波效应，对吧？

对于工业机械振动中的组件，例如变速箱，通常可以近似视作刚体。这是因为变速箱的主要结构通常非常坚固，并且在振动频率范围内的变形通常可以忽略不计。

在这种情况下，我们可以将变速箱看作刚体，这意味着在振动分析中，我们可以简化其动态响应的处理。这种近似通常是合理的，特别是当变速箱内部的振动频率远高于其结构的固有频率时。

然而，尽管变速箱可以近似为刚体，我们仍然需要考虑振动的一些重要特性，比如：

共振频率： 即使是刚体，也存在可能的共振频率。这些频率可能是由于某些内部结构或组件的固有振动模态而产生的，需要特别关注，以避免在这些频率附近出现过大的振动。

振动传递路径： 即使变速箱本身看作刚体，其仍然可以通过传递路径将振动传递到周围的结构或设备中。因此，在设计和分析过程中，需要考虑振动的传递效应，以避免对周围环境或其他机械部件造成负面影响。

关于驻波效应，变速箱内部也可能存在反射和干涉效应，导致驻波的形成。驻波是在振动传播过程中波的叠加和干涉所产生的，会导致某些频率上振动幅度增强或减弱。尽管变速箱可以近似为刚体，但在某些特定频率情况下，仍然需要考虑可能存在的驻波效应，以确保系统的稳定性和性能。

因此，虽然变速箱可以视作近似刚体来简化振动分析，但在特定情况下，仍然需要注意振动的共振频率和可能的驻波效应，以确保机械系统的可靠性和安全性。

9.变速箱的共振频率大概是什么量级，比如100KW级别的减速箱

变速箱的共振频率通常取决于其内部结构和尺寸，因此没有一个固定的标准值，但可以提供一些一般性的估计和考虑因素：

结构和尺寸影响： 变速箱的共振频率会受到内部零部件的几何形状、材料、以及固有频率的影响。大型重型变速箱可能具有较低的共振频率，而小型或轻型变速箱可能有较高的共振频率。

频率范围： 变速箱通常设计成在工作范围内稳定工作，因此其共振频率通常不会低于其设计工作频率范围的最低频率。

工作环境： 工业机械的振动频率也受到工作环境的影响，例如工作负载和运行速度会影响到振动的频率分布。

对于一个典型的100kW级别的工业变速箱，其共振频率可能在几百赫兹到数千赫兹之间。这个范围是一种粗略估计，实际的共振频率可以通过有限元分析或者实验测量来确定。

在实际工程设计中，工程师通常会进行模态分析来确定变速箱的主要振动模态和相关的共振频率，以确保在设计中避免这些频率附近的工作条件，从而减少共振可能带来的负面影响。

综上所述，变速箱的共振频率是一个重要的工程设计参数，需要通过详细的分析和测试来确定，以确保机械系统的稳定性和可靠性。

10.这个共振频率岂不是与转频有重叠？？

是的，变速箱的共振频率可能会与其转速（即转频）有重叠。在工程实践中，特别是在振动分析和设计中，这种重叠需要特别关注，因为它可能导致共振现象，从而增加振动幅度和可能的机械损伤。

共振频率通常与系统的固有振动模态和结构有关，而转频则是由变速箱内部的工作机构（如齿轮、轴等）的转动速度决定。如果变速箱的某个振动模态的共振频率与转频非常接近甚至相等，那么在这个频率上振动能量的积累可能会导致系统的振动加剧，甚至引发结构破坏或提前磨损。

工程师在设计和分析变速箱时，会采取一些措施来降低共振风险，例如：

频率避开策略： 尽量设计工作频率与共振频率不重叠，或者通过设计结构参数来调整共振频率，使其远离转频。

结构优化： 优化变速箱内部结构的几何形状和材料，以改变其振动特性，减少共振可能性。

阻尼措施： 添加有效的阻尼装置来吸收振动能量，降低共振幅度。

振动测试和模态分析： 进行实验测量或有限元分析，确定关键振动模态和其对应的共振频率，从而在设计阶段预测和避免可能的共振问题。

因此，虽然共振频率与转频有可能重叠，但通过工程设计和分析手段，可以采取措施来减少这种重叠的影响，确保变速箱及其周围系统的稳定性和可靠性。

11.固有频率会引发驻波效应，对吧？

固有频率确实可能引发驻波效应。驻波是振动传播中的一种现象，当波在介质中传播时，与自身的反射波相干叠加形成定常波动的状态。在振动系统中，如果系统的某个部分在特定频率上振动频率与传播介质的传播频率相同，就会形成驻波。

对于工业机械中的组件，例如变速箱，其内部的固有频率是指组件自身在特定频率上的振动模态。当机械系统在这些频率附近工作时，驻波效应可能会出现，导致振动幅度在某些位置上增强或减弱。这可能会对系统的稳定性、性能和寿命造成不利影响。

因此，工程设计中通常会考虑固有频率对系统的影响，特别是在避免频率与工作频率重叠或附近时。通过有效的设计和分析，可以减少驻波效应带来的潜在问题，确保机械系统在各种工作条件下的可靠性和安全性。