数学建模美赛入门

数学建模需要的学科知识

1. 高等数学+线性代数
   有很多算法的掌握是需要高等数学和线代的相关知识

   如：灰色预测模型需要微积分知识；神经网络需要用到导数知识；图论和层次分析法等都需要用到矩阵计算的相关知识等；

2. 概率论与数理统计：
   当出现了不确定事件时，就必须引入概率来描述这一过程，这就使得在本来因为无知而产生不确定性时，我们用概率工具最优的表征和最优地解决了这一问题，然后用统计学的方法对各种数据进行分析、建模，从中挖掘出一些有利的信息，把他们的机理弄清楚，这些数据分析的工作完成后，往往是模型推广的第一步，也是关键的一步。

   方差分析、贝叶斯模型、随机过程、马尔科夫链、等都需要用到概率论相关知识

《数学模型》姜启源谢金星叶俊高等教育出版社：基础+方法+思想属于数学建模入门级教材，大量的数学建模案例可以提高对数模的认识和理解，但对于算法的学习并不系统
《数学建模算法与应用》司守奎 国防工业出版社：指导操作的教程这本书被奉为数学建模百科全书，目前学界在用的，成型的和发展中的方法、思想在本书中都有全面的介绍，而且很多实用的方法都附有源程序，如果不想做的很有创新性时，直接套用基本上就能解决很多国赛和美赛的题目。

美赛

美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM），简称“美赛”，由美国数学及其应用联合会主办，是最高的国际性数学建模竞赛，也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛，

从2016年开始，每年美赛MCM/ICM各出3题，即总共六题。MCM俗称数学建模竞赛，有三道题：problemA, problemB和problemC。A题是连续型的题，B题是离散型的题，C题是数据处理的题，大都是会给出大量的表格数据进行数据处理。ICM俗称交叉学科竞赛，有三道题：problemD, problemE, problemF。与mcm不同的是，题目上会给你一些参考的数据，方便你尽快找到查数据的方向。problem D是运筹学和网络科学等类型的题目，problemE近往年都是关于环境方面的综合题目，现在改成了可持续性题目。problem F是政策的题目。

一 数学建模入门

1.1 模型

原型 (archetype)：人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象

模型（model）是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼构造的原型替
代物，是对所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据
实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件
等用的模子。

1.2 数学建模

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

1.3 数学建模中的模型分类

• 按所用的数学知识分类
  初等模型、几何模型、微积分模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、规划论模型等。
• 按所解决的问题的领域分类
  物理模型：自然科学领域内的问题
  非物理模型：经济模型、交通模型、人口模型、生态模型、环境模型、医学模型、社会学模型
• 按所建模目的分类
  描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等
• 按所模型的表现特性分类:
  确定模型、随机模型；
  静态模型、动态模型、离散模型、连续模型

1.4 数学建模的过程

美赛不建议是用spsspro（或者摘取其特征）
美赛最重要的三步：模型假设、摘要、灵敏度分析

• 模型准备（包括数据搜集）
• 模型假设（避免错误假设、常识性假设）
• 模型建立（可以在复杂模型中组合模型使用流程图、创新模型使用伪代码）
• 模型求解（不要直白地说用MATLAB等等求解）
• 模型分析（与问题呼应，要有表层分析和深层分析）
• 模型检验（对应模型假设）
  • 美赛看中灵敏度分析，对无法考虑的变量进行波动，灵敏度越强，稳定性就越弱
  • 误差分析：判断结果的正确性
• 模型应用（模型的推广）

二 数学建模的实战经验

2.1 数学建模常见的赛题

总体来说，数学建模赛题类型主要分为：评价类、预测类和优化类三种，其中优化类是最常见的赛题类型，几乎每年的地区赛或国赛美赛等均有出题，必须要掌握并且熟悉。

2.1.1 评价类

赛题类型	题目特点	选择算法
评价类算法	无数据支撑下指标定权，给指标制定权重；量化方案选择	层次分析法
	有数据支撑下指标定权与评价问题	熵权法
	分析各个因素对于结果的影响程度，或解决随时间变化的综合评价类问题	灰色关联分析法
	对评价结果进行排序；或评价的准则层太多，或准则层中的指标 (相对权重已知)，则不能用层次分析法评价，要用优劣解距离法	TOPSIS模型
	在模糊环境下，考虑了多因素的影响，为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。	模糊综合评价法
	指标较多，有训练数据支撑，并且需要对未知数据进行评价	神经网络算法
	多种投入和多种产出类评价问题	数据包络法 (DEA)
	秩和比方法常 用于评价多个指标的综合水平情况，医学研究领域应用尤为广泛。	秩和比综合评价法

2.1.2 预测类

预测就是根据过去和现在估计未来，预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴，即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测

赛题类型	题目特点	选择算法
预测类算法	单调递增的时间序列数据预测	Logistic 预测模型
		灰色预测模型
		二次指数平滑预测
		ARMA 时间序列预测模型
		季节指数预测模型
		BP 神经网络预测模型
	周期性的时间序列数据预测	ARMA 时间序列预测模型
		季节指数预测模型
		BP 神经网络预测模型
	不规律的时间序列数据预测	高斯回归预测模型
		二次指数平滑预测
		ARMA 时间序列预测模型
		季节指数预测模型
	多个指标的时间序列数据预测	BP 神经网络模型
	某一个系统在已知现在的条件下，系统未来时刻的情况只与当前有关，而与过去的历史无关；	马尔可夫预测模型
	自变量和因变量之间有逻辑相关性	回归分析预测模型

2.1.3 优化类

优化类问题是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获(比如保险)。

赛题类型	题目特点	选择算法
优化类算法	目标函数和的束条件均为线性	线性规划模型
	决策变量取值被限制为整数或 0,1	整数规划或 0-1 规划
	以时间为划分阶段的动态过程优化问题	动态优化模型
	目标函数或约束条件中包括非线性函数	非线性规划模型
	目标函数不唯一, 即同时存在多个目标函数	多目标规划模型
	目标函数为凸函数时，求解算法选择基于梯度的求解算法	最速下降法
		随机梯度下降
		拟牛顿法
	目标函数为非凸函数时，求解算法选择智能优化算法	粒子群算法
		模拟退火
		遗传算法
	智能优化：决策变量为连续变量	粒子群算法
	智能优化：决策变量为离散变量	遗传算法
	智能优化：决策变量为离散变量	模拟退火

2.2 数据预处理

赛题类型	题目特点	选择算法
数据预处理	数据中存在缺失值	拉格朗日插值法和牛顿插值法
	数据中存在异常值	利用正态分布3σ原则或画箱型图检测异常值
	数据需要归一化处理	标准差法、极值差法、功效系数法等
	数据中存在分类变量	独热编码、标签编码等
	需要将连续变量进行离散化	等宽法、等频法、基于聚类的思想等
	数据维度过高，需要对数据数据进行 降维处理	PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等

2.3 相关性分析

赛题类型	题目特点	选择算法
相关性分析	离散变量和离散变量的相关性分析	卡方检验
	数据中存在异常值	协方差、Pearson 相关系数、spearman 相关系数
	数据需要归一化处理	标准差法、极值差法、功效系数法等
	数据中存在分类变量	独热编码、标签编码等
	需要将连续变量进行离散化	等宽法、等频法、基于聚类的思想等
	数据维度过高，需要对数据数据进行 降维处理	PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等

2.4 分类问题

赛题类型	题目特点	选择算法
分类问题	无监督聚类（无训练数据）	K-Means 算法 层次聚类算法 高斯混合聚类模型 SOM 自组织神经网络
	监督聚类（有训练数据）	KNN 聚类模型 BP 神经网络分类模型 决策树分类模型 朴素贝叶斯分类等
图与网络	两个指定顶点之间的最短路径	Dijkstra 模型
	每对顶点之间的最短路径	Floyd 模型
	TSP 旅行商问题	图+规划模型
微分方程	研究问题较为复杂的变量，并且变量间满足某些基本规律	人口模型 战争模型 传染病模型