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【线性代数】矩阵变换

一些特殊的矩阵

一,对角矩阵

1,什么是对角矩阵

表示将矩阵进行伸缩(反射)变换,仅沿坐标轴方向伸缩(反射)变换。

2,对角矩阵可分解为多个F1矩阵,如下:

二,剪切矩阵

1,什么是剪切矩阵

2,剪切矩阵的几何意义

3,剪切矩阵的特点

变换前后面积不变

三,正交矩阵

1,什么是正交矩阵?

2,正交矩阵的特点

(1)是方阵

(2)每个列向量都是单位矩阵

(3)每对列向量都正交

(4)正交矩阵的转置等于它的逆

3,正交矩阵的几何意义

只有旋转,无剪切,无伸缩,无反射

如下图所示,矩阵A表示绕X轴旋转60°,矩阵B表示绕Z轴旋转45°,C表示先按X轴旋转60°再按Z轴旋转45°,顺序不能颠倒。

若颠倒顺序,先绕Z轴旋转,再按X轴旋转,则:

四,投影矩阵

1,什么是投影矩阵?

将高维的变换到低维

谱分解

作用对象是对称矩阵,对称矩阵的特征向量正交。

本质:将一个复杂的变换分解为:旋转-伸缩-逆旋转

Q为单位特征向量组成的矩阵,即e1,e2,e3都是单位特征向量,\Lambda为特征值组成的对角矩阵。

过程解释(以2维为例):原对称矩阵S具有2个特征向量,且特征向量都正交,Q^{T}矩阵实现了将特征基 e1,e2旋转到原来的基 (1,0)(0,1)的过程,然后进行\Lambda伸缩变换,即沿特征基的方向进行伸缩变换,最后再乘Q将特征基旋转回原来的位置。

谱分解的特殊点:

(1)对称矩阵的特征向量都正交,原来的基也是正交的,则仅进行正交变换(旋转)即可实现将特征基旋转为原来的基。

奇异值分解

奇异值分解与谱分解的区别只有,谱分解是旋转---伸缩---逆旋转,而奇异值分解是旋转---伸缩(可能有维度消除或维度扩充)---再旋转。奇异值分解的第二次旋转不是第一次旋转的逆旋转。

1,图+公式推导

待分解矩阵的变换如图,改变换将相互正交的向量v_{1}v_{2} 变换到仍然相互正交的向量u_{1}u_{2},伸缩量为\sigma _{1}\sigma _{2}。设V=[v_{1},v_{2}]U=[u_{1},u_{2}]\Sigma =\begin{bmatrix} \sigma _{1} &0 \\ 0 &\sigma _{2} \end{bmatrix}

MV=U\Sigma,即 M=U\Sigma V^{T}

即         M^{T}M=V\Sigma U^{T}U\Sigma V^{T}=V\Sigma ^{2}V^{T}

即         M^{T}MV=V\Sigma ^{2}

所以M^{T}M的特征向量为V,特征值为\Sigma ^{2}=\begin{bmatrix} \sigma _{1}^{2} &0 \\ 0 & \sigma _{2}^{2} \end{bmatrix}

同理MM^{T}的特征向量为U,特征值为\Sigma ^{2}=\begin{bmatrix} \sigma _{1}^{2} &0 \\ 0 & \sigma _{2}^{2} \end{bmatrix}

综上,奇异值分解中M=U\Sigma V^{T}UMM^{T}的特征向量,VM^{T}M的特征向量。\SigmaMM^{T}M^{T}M特征值的平方根。

V为右奇异向量,U为左奇异向量。

2,几何解释

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