【数据结构】AVL树(平衡二叉搜索树)

1.AVL树

在前面，我们已经介绍过了二叉搜索树，也了解到二叉搜索树查找的效率非常的高。但是在数据有序或接近有序时，它就会退化成单边树，那样效率就变得非常低了。所以我们也一直说二叉搜索树的搜索的时间复杂度是O(N)(高度次)，并不是O(log₂N)。

因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

1.1 AVL树的概念

由于二叉搜索树可能会退化，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

为什么要求左右子树的高度之差不超过1就可以呢？

对于所有形状的子树来说，如果他有2ⁿ-1个节点，那它就可以保持绝对的平衡；如果他有2ⁿ (n >= 1)个节点，就无法做到绝对的平衡，最好的结果就是子树高度相差一。

一棵AVL树要么是空树，要么是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果他有n个节点，其高度可保持在log₂N，搜索的时间复杂度就是log₂N。

1.2 AVL树节点的定义

为了方便确认一棵树是否是AVL树，我们在节点中定义一个平衡因子，通过它来记录每棵树左右子树的高度。

如果右子树比左子树高一层，那平衡因子就是1；如果左右子树一样高，那平衡因子就是0；如果左子树比右子树高一层，那平衡因子就是-1。此时AVL树的性质都没有被打破。

当左子树比右子树高两层，那平衡因子就是-2；或者右子树比左子树高两层，平衡因子就是2，此时AAVL树的性质就被打破了，需要调整。

在调整失衡的AVL树时，我们需要频繁的访问其父节点，因此我们给每个节点定义一个指向父亲的指针

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _kv;  //存放数据AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _prev;  //指向当前节点的父亲int _bf;//平衡因子AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),_right(nullptr),prev(nullptr),_bf(0){}
};

1.3 AVL树的插入

AVL树的插入与普通二叉搜索树的插入基本一致。唯一的区别就是AVL树插入节点后需要判断AVL树是否失衡，存在失衡就需要调整。

我们平衡因子是使用右子树的高度-左子树的高度，因此，如果新节点插入到父节点的右边，那父亲的平衡因子+1；如果新节点插入到父亲节点的左边，那父亲的平衡因子-1。

对于情况二来说，新节点的插入不会影响其祖先的平衡因子的改变，因为子树的高度没有改变。
对于情况一来说，新节点的插入会影响其祖先的平衡因子的改变，因为子树的高度变高了。

所以，对于情况一来说，我们新插入节点后，还要观察其祖先的平衡因子是否变化，变化后是否需要调整。

那么下面我们就先将节点插入到树中：

	bool insert(const pair<K, V>& kv){//插入前是空树if (_root == nullptr){//新插入的节点就是根_root = new Node(kv);_root->_prev = nullptr;return true;}else{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;//寻找插入位置while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;//记录父节点，以便后序连接cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;//节点已经存在，插入失败}}//已找到了插入位置cur = new Node(kv);//判断连接在父亲的哪一侧if (parent->_kv.first < kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;cur->_prev = parent;//指向父亲//判断树是否失衡//...}}

更新父亲/祖先的平衡因子

		//判断树是否失衡while (parent){//更新父亲的平衡因子if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)//属于情况二，不影响祖先break;//情况一，影响祖先的平衡因子，需要继续更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_prev;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转处理break;}else{assert(false);//平衡因子异常了}}

1.4 AVL树的旋转

AVL树的旋转分为四种情况：

• 左单旋
• 右单旋
• 左右双旋
• 右左双旋

下面，我们对这四种情况具体分析

1.4.1 左单旋

新节点插入到较高右子树的右侧- -左单旋

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 7节点的左孩子可能存在，也可能不存在
2. 6可能是根节点，也可能是子树
   • 如果是根节点，旋转完成后，根节点就是7
   • 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，需要判断以后连接

void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;//父亲的右孩子Node* subRL = subR->_left;//右孩子的左孩子//升高度，连孙子parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_prev = parent;Node* parentPrev = parent->_prev;//降高度，变父亲subR->_left = parent;parent->_prev = subR;//连接旋转后的子树subR->_prev = parentPrev;if (parentPrev == nullptr){//如果原父亲就是根，旋转后的儿子变根_root = subR;}else{//原父亲是子树，判断儿子连接在哪一边if (parentPrev->_left == parent)parentPrev->_left = subR;elseparentPrev->_right = subR;}//更新平衡因子subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

1.4.2 右单旋

新节点插入到较高左子树的左侧- - 右旋

在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1. 5节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2. 6可能是根节点，也可能是子树
   • 如果是根节点，旋转完成后，根节点就是5
   • 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树，需要判断以后连接

	void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;//升高度，连孙子parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_prev = parent;Node* parentPrev = parent->_prev;//降高度，变父亲subL->_right = parent;parent->_prev = subL;//新父亲指向前subL->_prev = parentPrev;if (nullptr == parentPrev){//如果原父亲就是根，旋转后的儿子变根_root = subL;}else{//原父亲是子树，判断儿子连接在哪一边if (parentPrev->_left == parent)parentPrev->_left = subL;elseparentPrev->_right = subL;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

1.4.3 右左双旋

新节点插入到较高右子树的左侧- -右左双旋

所以，为了解决这种情况，我们可以将这种歪脖树先变成一棵单边树，然后再进行单旋即可。

为了满足所有情况，我们下面使用抽象图再画一遍

观察上图我们可以发现，双旋就是一种抛弃自己的孩子，独自登基的感觉，因此对于旋转后平衡因子的改变，取决于新节点插入到哪一边，最后又到哪里去。

void RotateRL(Node* parent){//由于单旋会改变节点的位置以及平衡因子，所以提前记录Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);//修改平衡因子if (bf == 0)//subRL插入前是空{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1)//subRL之前是一棵树，新节点插入其  右侧{parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else			 //subRL之前是一棵树，新节点插入其  左侧{parent->_bf = 0;subR->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}}

1.4.4 左右双旋

新节点插入到较高左子树的右侧–左右双旋

最简单的情况，2的右子树插入前为空

抽象图

跟右左双旋基本一样，这里就不赘述了，咱们直接开旋。

平衡因子的改变也需要小心。

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0) // subLR插入前为空{parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1) //subLR是一棵树，新节点插入到树的  右侧{parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else              //subLR是一棵树，新节点插入到树的  左侧{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}}

下面就是更新平衡因子的整体思路：

			//判断树是否失衡while (parent){//更新父亲的平衡因子if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0)//属于情况二，不影响祖先break;//情况一，影响祖先的平衡因子，需要继续更新else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = cur->_prev;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转处理//左单旋//    p                     cur//      cur      --->    p      new//         newif (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)RotateL(parent);//右单旋//			p               cur//		cur      --->   new     p//	newelse if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)RotateR(parent);//右左双旋//     p            p                  cur//        cur  -->    cur      -->   p     new//     new                newelse if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL(parent);//左右双旋//      p             p            cur//  cur      -->    cur      --> new   p     //     new        newelse if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);elseassert(false);break;//旋转后，以parent为根的树已经平衡，无需继续向上更新}else{assert(false);//平衡因子异常了}

总结：
假如以Parent为根的子树不平衡，即Parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1. Parent的平衡因子为2，说明Parent的右子树高，设Parent的右子树的根为SubR
   • 当SubR的平衡因子为1时，执行左单旋
   • 当SubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. Parent的平衡因子为-2，说明Parent的左子树高，设Parent的左子树的根为SubL
   • 当SubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
   • 当SubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原Parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

1.5 AVL树的平衡验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树
   • 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
   • 每个节点子树高度差的绝对值不能超过1
   • 节点的平衡因子是否计算正确

	int Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool _isBalanceTree(){return isBalanceTree(_root);}bool isBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)//空树也是平衡二叉搜索树return true;int leftHeight = Height(root->_left);int rightHeight = Height(root->_right);int gap = rightHeight - leftHeight;  //计算root的平衡因子// 如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等，或者//root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (gap != root->_bf || (gap > 1 || gap < -1)){return false;}return isBalanceTree(root->_left) && isBalanceTree(root->_right);}

1.6 AVL树的删除

• 因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除
• (分析有无左右孩子，若仅有一个孩子，则直接将删除节点连接孩子；若有两个孩子，将删除节点替换为删除节点的左子树的最大或右子树的最小)
• 然后再更新平衡因子，只不过与插入不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log₂N。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。