数字图像处理笔记（三) ---- 傅里叶变换的基本原理

系列文章目录

数字图像处理笔记（一）---- 图像数字化与显示
数字图像处理笔记（二）---- 像素加图像统计特征
数字图像处理笔记（三) ---- 傅里叶变换的基本原理

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前言

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一、傅里叶变换

问题的引入

信号分解的目的：简化原信号的处理
正选曲线具备良好的保真度。
傅里叶变换就是将现实世界中的时域信号或空域信号，分解成一系列不同频率的正弦波和余弦波之和。

对于一个方波信号，傅里叶变换就是将其分解成几个不同频率的正弦曲线的叠加和，我们将这些正弦曲线展开，将每个正弦曲线的幅度和频率映射到一个平面上就能得到这个方波信号的频谱。

二、离散傅里叶变换的数学公式。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种数学变换，它将一个信号从时间域转换到频率域，从而分析信号的频谱特性和频率成分。

傅里叶变换：将时域信号 f(n) 转换为频域信号 F(u)。
傅里叶反变换：如何从频域信号 F(u) 还原回时域信号 f(n)

对于二维图像信号 f(m,n)，
傅里叶变换：二维图像信号从空间域转换到频率域
傅里叶反变换：从频率域到空间域的转换

图像经过傅里叶变换后得到的频谱是复数；

图像中低频成分具有较高的能量；

空域与频域的对应关系——一对所有；

频谱

频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。

三、离散傅里叶变换的应用

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总结

• 图像的空域与频域对应是一对所有的关系；
• 相位谱包含了图像的结构信息，频率谱反映了信号能量的分布；
• 频域采样间隔的设置也要遵循Niquest采样定理；
• 低于采样定理的采样频率将导致重建空域图像的折叠伪影