滑模面、趋近律设计过程详解(滑模控制)

设计滑模面（Sliding Surface）是滑模控制（Sliding Mode Control，SMC）中的关键步骤。滑模控制是一种鲁棒控制方法，通过将系统状态驱动到滑模面上并沿着滑模面滑行，从而达到系统的控制目标。设计滑模面通常包括以下步骤：

1. 确定系统的状态变量和目标

• 首先，明确系统的状态变量 $x$ 和控制目标。状态变量通常是系统的状态向量，而控制目标可能是状态变量的某个期望值或轨迹。

2. 定义滑模面

• 滑模面 $s(x)$是一个定义在状态空间中的超平面，使得系统在该超平面上具有期望的动态行为。滑模面可以定义为系统状态的某种函数等于零的集合：
  $$s(x)=0$$

滑模面通常设计为系统状态误差的线性组合，例如：
$$s(x)=C^T(x-x_d)$$

其中，$C^T$为设计矩阵，$x_d$为期望状态。

3. 选择滑模面的参数

• 滑模面的参数（如矩阵$C$) 的选择应保证系统状态能够被驱动到滑模面上，并沿着滑模面滑行。例如，在一阶系统中，滑模面通常设计为状态误差的比例，如 $s(x)=x-x_d$。对于高阶系统，滑模面可以设计为包含误差及其导数项的多项式，如：

$$s(x,\dot{x})=\dot{x}+\lambda (x-x_d)=\dot{x}+\lambda e$$

其中，$\lambda$为设计参数，$e=x-x_d$ 为状态误差。

滑模面一般可以设计为如下的形式
$$s(x)=\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{x}_i+x_n$$

设计条件：
$$p^{n-1}+c_{n-1}{p}^{n-2}+...+c_{2}p+c1$$保证该多项式为Hurwit(该条件满足状态$x$在$s=0$的滑模面上收敛)，满足赫尔维茨稳定性，即上述多项式的特征值实部为负，即特征值点在s左半平面。

例如：以文章 滑模变结构控制仿真实例(s-function代码详解) 中的数学模型为例。即：
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ {\dot{x}}_3=x_1+x_2{x}_3+u\end{array}\end{array}$$

取n = 3， 即 $s(x)=c_1{x}_1+c_2{x}_2+x_3$, 为满足Hurwitz条件，要求特征多项式 $p^2+c_{2}p+c1=0$的特征值实部为负，取$c_1=1,c_2=2$，得多项式为$p^2+2p+1=0$,解得两个特征根 $-1,-1$ 满足条件。

根据之前所说，控制器的目的是使状态变量$x_1,x_2,x_3$收敛到0，我们令$s=0$，即令 $\dot{s}$ = 控制律，进而求解控制器$u$。

• 该模型中，取 $\dot{s}$ = 趋近律， 采用指数趋近律 $\dot{s}=-sgn(s)-s$ （$sgn(s)$为符号函数）求得控制器 $u$
  $$\begin{array}{r}u=-sgn(s)-s-x_1-x_2-2x_3-x_2{x}_3\end{array}$$

4. 设计控制律

• 传送门：符号函数与饱和函数的滑模设计案例(s-function函数仿真)
• 控制律的设计目的是驱动系统状态到达滑模面并沿滑模面滑行。常见的滑模控制律形式为：

1. 等速趋近律：$\dot{s}=-\epsilon sgn(s)$
   $\epsilon >0,sgn(s)\text{为符号函数，}s>0时，sgn(s)=1;s<0时，sgn(s)=-1,s=0时，sgn(s)=0$
2. 指数趋近律： $\dot{s}=-\epsilon sgn(s)-ks$，其中 $\epsilon >0,k>0$
3. 幂次趋近律：$\dot{s}=-k|s{|}^{\alpha }sgn(s)-ks$, 其中，$k>0,0<\alpha <1$。
   $$\begin{array}{r}符号函数：sgn(s)=\{\begin{array}{lc}1，& s>0\\ 0,& s=0\\ -1,& s<0\end{array}\end{array}$$

• 为了避免抖振现象，可以使用连续的近似符号函数，如饱和函数或正切函数。
  $$饱和函数：sat(s)=\{\begin{array}{ll}1& s>\Delta \\ ks& |s|\le \Delta ，k=1/\Delta \\ -1& s<-\Delta \end{array}$$

5. 验证滑模面设计

• 最后，通过仿真或实际实验验证所设计的滑模面和控制律的有效性。需要确保系统状态能快速到达并保持在滑模面上，且系统的动态性能满足设计要求。

6. 总结

• 滑模面的设计是一个系统化的过程，涉及到系统模型的分析、滑模面函数的定义和参数选择、控制律的设计以及验证和调整。通过合理设计滑模面，可以实现对系统的有效控制，尤其在不确定性和扰动较大的情况下表现出优越的鲁棒性。

(如有不当之处，还望指正)