P1340 兽径管理 题解|最小生成树

题目大意

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原文

约翰农场的牛群希望能够在 $N$ 个草地之间任意移动。草地的编号由 $1$ 到 $N$。草地之间有树林隔开。牛群希望能够选择草地间的路径，使牛群能够从任一 片草地移动到任一片其它草地。 牛群可在路径上双向通行。

牛群并不能创造路径，但是他们会保有及利用已经发现的野兽所走出来的路径（以下简称兽径）。每星期他们会选择并管理一些或全部已知的兽径当作通路。

牛群每星期初会发现一条新的兽径。他们接着必须决定管理哪些兽径来组成该周牛群移动的通路，使得牛群得以从任一草地移动到任一草地。牛群只能使用当周有被管理的兽径做为通路。

牛群希望他们管理的兽径长度和为最小。牛群可以从所有他们知道的所有兽径中挑选出一些来管理。牛群可以挑选的兽径与它之前是否曾被管理无关。

兽径决不会是直线，因此连接两片草地之间的不同兽径长度可以不同。 此外虽然两条兽径或许会相交，但牛群非常的专注，除非交点是在草地内，否则不会在交点换到另外一条兽径上。

在每周开始的时候，牛群会描述他们新发现的兽径。如果可能的话，请找出可从任何一草地通达另一草地的一组需管理的兽径，使其兽径长度和最小。

题目简述

给定 $N(1\le N\le 200)$ 个节点，$1\le W\le 6000$ 条边，第 $i(1\le i\le W)$ 条边包含三个数 $x,y,w$，分别表示连接的点和边权。每次输入一条边后输出当前最小生成树的边权和，若无解输出 -1。

样例输入

4 6	 	 
1 2 10	 	 
1 3 8	 	 
3 2 3	 	 
1 4 3	 	 
1 3 6	 	 
2 1 2	 	

样例输出

-1
-1
-1
14
12
8

思路

由于 $N$ 较小，可考虑对于每一次输入跑一遍克鲁斯卡尔算法，复杂度 $O(W^{2}logW)$，不能接受。

观察题目，从 $N$ 入手，考虑我们已经连上所有边形成最小生成树的情况，如下图：

此时加入一条 1 3 6 的边，我们对已经有的 $N-1$ 条边和输入的 $1$ 条边共 $N$ 条边跑克鲁斯卡尔算法（代码实现部分我用的优先队列，可以替换成 sort，单次复杂度均为 $O(NlogN)$，可以接受），每次多出的一条边删掉，再将跑完的边压入优先队列，可实现单次查询复杂度为 $O(NlogN)$。

重复以上操作即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,w;
int head[205];
int find(int x) {return head[x] == x?x:head[x] = find(head[x]);
}
struct node{int x,y,w;friend bool operator <(node a,node b) {return a.w > b.w;}
}edge[205];
priority_queue<node>ed;
signed main() {scanf("%lld %lld",&n,&w);while(w--) {node new_ed;scanf("%lld %lld %lld",&new_ed.x,&new_ed.y,&new_ed.w);ed.push(new_ed);for(int i = 1;i <= n;i++) head[i] = i;int cnt = 0,ans = 0;while(!ed.empty()) {new_ed = ed.top(),ed.pop();if(find(new_ed.x) != find(new_ed.y)) {head[find(new_ed.y)] = find(new_ed.x);cnt++;edge[cnt] = new_ed;ans += new_ed.w;}if(cnt == n - 1) break;}if(cnt < n - 1) printf("-1\n");else printf("%lld\n",ans);while(!ed.empty()) ed.pop();for(int i = 1;i <= cnt;i++) ed.push(edge[i]);}return 0;
}