椭圆曲线加法运算

1. 定义

椭圆曲线 (Elliptic Curve) 不是函数，而是一条平面曲线，其方程是定义如下：

$$y^2=x^3+ax+b$$

其中，判别式$\Delta =-16(4a^3+27b^2)\ne 0$。判别式表示该方程需要满足无奇点的约束条件。无奇点在几何上意味着曲线没有尖点，自相交点，或孤立点。

举例而言，当$(a,b)=(0,0)$时，$\Delta =0$意味着曲线存在奇点，不满足无奇点的约束条件，此时曲线$y^2=x^3$不是椭圆曲线。

[图片参考自：https://www.desmos.com/calculator/fttnxuzryp?lang=zh-TW]

2. 椭圆曲线加法运算

2.1. 问题描述

给定椭圆曲线$y^2=x^3+8$，点$P=(0,2\sqrt{2})$，$Q=(-2,0)$，（注意，这里点P，Q是实数集上的例子，仅仅作示范使用，真实在有限域中，点P，Q的值均为整数），求椭圆曲线$y^2=x^3+8$中，$P+Q$的值？

2.2. 解决方案

步骤一：求直线PQ的方程式

直线PQ的斜率: $\frac{y_p-y_q}{x_p-x_q}=\frac{2\sqrt{2}-0}{0--2}=\sqrt{2}$

代入Q点，得到直线PQ的方程式: $y=\sqrt{2}+2\sqrt{2}$

步骤二：求直线PQ和椭圆曲线的第三个交点，取第三个交点的关于Y的对称点

并列直线PQ和椭圆曲线的方程$\{\begin{array}{ll}{y}^2=x^3+8& \\ y=\sqrt{2}x+2\sqrt{2}& \end{array}$

得到第三个交点$R^{\prime }=(4,6\sqrt{2})$

取第三个交点的关于Y的对称点$R=(4,-6\sqrt{2})$

因此，椭圆曲线$y^2=x^3+8$中，$P+Q=R=(4,-6\sqrt{2})$。

参考资料

[1. 椭圆曲线] https://www.ruanx.net/elliptic-curve/
[2. 椭圆曲线判别式] https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E6%9B%B2%E7%BA%BF