【数学分析笔记】第1章第1节：集合（2）

这节我自己补了一些内容，要不然听不太懂陈纪修老师讲的

1. 集合与映射

1.3 子集与真子集

• 假如有$\text{S}$和$\text{T}$两个集合，其中，$\text{S}$的所有元素都属于$\text{T}$，则称$\text{S}$是$\text{T}$的子集，记为$\text{S}\subset \text{T}$。
  【例】${\text{N}}^{+}\subset \text{Z}\subset \text{Q}\subset \text{R}$
  
• $\text{S}\subset \text{T}$的表述：$x\in \text{S}\Rightarrow x\in \text{T}$，其中“$\Rightarrow$”表示蕴含关系。
• 设$p,q$为两个命题，复合命题“如果$p$，则$q$”称为$p$与$q$的蕴含式，记作$p\Rightarrow q$或$p\to q$，并称$p$是蕴含式的前件，$q$为蕴含式的后件，$\Rightarrow$或$\to$称为蕴含连接词，并规定$p\Rightarrow q$为假当且仅当$p$为真$q$为假，$p\Rightarrow q$的逻辑关系是$q$是$p$的必要条件。
• 若$\text{S}$中至少有一个元素不属于$\text{T}$，则$\text{S}$不是$\text{T}$的子集，记为$\text{S}\not\subset \text{T}$
• 若$\text{S}\subset \text{T}$，在$\text{T}$中存在一个元素不属于$\text{S}$，则称$\text{S}$为$\text{T}$的真子集，记作$\text{S}\text{T}$
• 对任意的集合$\text{S}$有：$\text{S}\subset \text{S},\varnothing \subset \text{S}$

【证明】$\varnothing \subset \text{S}$，其中$\text{S}$为任意的集合。
【证】设命题$q$为“$\varnothing \subset \text{S}$”，假如有命题$p$为“$x\in \varnothing$则$x\in \text{S}$”，先不论这个命题的真假，我们单纯从命题$p$根据子集的定义能推出命题$q$，即$p\Rightarrow q$是真的，根据$p\Rightarrow q$为假当且仅当$p$为真$q$为假，则逆否命题$p$为假$q$为真则$p\Rightarrow q$为真成立，由于空集中没有任何元素，所以命题$p$中$x\in \varnothing$为假，即$p$为假，且$p\Rightarrow q$为真，则$q$一定为真，即$\varnothing \subset \text{S}$为真。
【P.s】此段证明就是陈纪修老师视频课里一语带过的内容。

【例1.1.1】 T = { a , b , c } \textbf{T}=\{a,b,c\} T={a,b,c}，求$\text{T}$的子集。
【解】$\text{T}$的子集为 ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { b , c } , { a , c } , { a , b , c } \emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\} ∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}，子集数量为$2^3$个
其中，真子集有 ∅ , { a } , { b } , { c } , { a , b } , { b , c } , { a , c } \emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\} ∅,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c}，真子集个数为$2^3-1$个。

1.4 集合相等

• 若$\text{S}$与$\text{T}$的所有元素完全相同，则称两个集合相同，记为$\text{S}=\text{T}$
• “$\iff$”表示等价，相互蕴含，当且仅当。
• $\text{S}=\text{T}\iff \text{S}\subset \text{T}且\text{T}\subset \text{S}$

1.5 实数的子集

实数集合$\text{R}$的子集常见的是区间，比如开区间 ( a , b ) = { x ∣ x ∈ R , 且 a < x < b } (a,b)=\{x|x\in \textbf{R},且a<x<b\} (a,b)={x∣x∈R,且a<x<b}。
【例】 ( a , + ∞ ) = { x ∣ x ∈ R , 且 a < x < + ∞ } (a,+\infty)=\{x|x\in \textbf{R},且a<x<+\infty\} (a,+∞)={x∣x∈R,且a<x<+∞}
$[a,b],[a,b),(a,b],[a,+\infty ),(-\infty ,b],(-\infty ,+\infty )...$这些区间是常见的实数集合的子集。

1.6 集合的运算

集合的运算主要有四种：并，交，差，补

1.6.1 集合的并与交

• $\text{S}$与$\text{T}$的并：指$\text{S}$与$\text{T}$的元素的汇集而成的集合，记为$\text{S}\cup \text{T}$，则 S ∪ T = { x ∣ x ∈ S 或 x ∈ T } \textbf{S}\cup \textbf{T}=\{x|x\in\textbf{S}或x\in\textbf{T}\} S∪T={x∣x∈S或x∈T}，如下图所示：

• $\text{S}$与$\text{T}$的交：指$\text{S}$和$\text{T}$的公共元素组成的集合。记作$\text{S}\cap \text{T}$，即 S ∩ T = { x ∣ x ∈ S 且 x ∈ T } \textbf{S}\cap \textbf{T}=\{x|x\in\textbf{S}且x\in\textbf{T}\} S∩T={x∣x∈S且x∈T}，如下图所示：
  
  【例】$\text{S}=a,b,c,\text{T}=b,c,d,e$，则 S ∩ T = { b , c } \textbf{S}\cap\textbf{T}=\{b,c\} S∩T={b,c}
• 并与交的运算满足交换律：
  $\text{S}\cup \text{T}=\text{T}\cup \text{S}$
  $\text{S}\cap \text{T}=\text{T}\cap \text{S}$
• 并与交的运算满足结合律：
  $\text{A}\cup (\text{B}\cup \text{D})=(\text{A}\cup \text{B})\cup \text{D}$
  $\text{A}\cap (\text{B}\cap \text{D})=(\text{A}\cap \text{B})\cap \text{D}$
• 并与交的运算满足分配律：
  $\text{A}\cap (\text{B}\cup \text{D})=(\text{A}\cap \text{B})\cup (\text{A}\cap \text{D})$
  $\text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D})=(\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})$
  【证明】$\text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D})=(\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})$
  【证】第一步：假设$x\in \text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D})$，要证$x\in (\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})$
  则$x\in \text{A}$或者$x\in \text{B}且x\in \text{D}$，
  即$x\in \text{A}$或者$x\in \text{B}$，亦即$x\in (\text{A}\cup \text{B})$
  同理$x\in (\text{A}\cup \text{D})$
  所以$x\in (\text{A}\cup \text{B})$且$x\in (\text{A}\cup \text{D})$
  即$x\in ((\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D}))$
  又因为$x\in \text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D})$
  所以$(\text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D}))\subset ((\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D}))$
  第二步：
  设$x\in (\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})$，要证$x\in \text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D})$
  则$x\in (\text{A}\cup \text{B})$且$x\in (\text{A}\cup \text{D})$
  若$x\in \text{A}$，则$x\in (\text{A}\cup \text{B})$且$x\in (\text{A}\cup \text{D})$成立
  若$x\notin \text{A}$，则$x\in \text{B}$或$x\in \text{D}$，此时$x\in (\text{A}\cup \text{B})$且$x\in (\text{A}\cup \text{D})$也成立
  即$x\in \text{A}$或$x\in (\text{B}\cup \text{D})$
  亦即$x\in (\text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D}))$
  又因为$x\in (\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})$
  所以$(\text{A}\cup \text{B})\cap (\text{A}\cup \text{D})\subset (\text{A}\cup (\text{B}\cap \text{D}))$
  【注】这里用到的是子集的定义：$\text{S}\subset \text{T}$的表述：$x\in \text{S}\Rightarrow x\in \text{T}$，其中“$\Rightarrow$”表示蕴含关系。

1.6.2 集合的差与补

• $\text{S}$与$\text{T}$的差：是指属于$\text{S}$但不属于$\text{T}$的集合，记为$\text{S}\setminus \text{T}$或$\text{S}-\text{T}$， S ∖ T { x ∣ x ∈ S 且 x ∉ T } \textbf{S}\setminus \textbf{T}\{x|x\in\textbf{S}且x\notin\textbf{T}\} S∖T{x∣x∈S且x∈/​T}，如下图所示：
  
  【例】 { a , b , c } − { b , c , d , e } = { a } \{a,b,c\}-\{b,c,d,e\}=\{a\} {a,b,c}−{b,c,d,e}={a}

• 一个集合的补：设在$\text{X}$集合中讨论问题，$\text{S}\subset \text{X}$，则$\text{S}$关于$\text{X}$的补集 S X c { x ∣ x ∈ X 且 x ∉ S } = X ∖ S \textbf{S}_{\textbf{X}}^{c}\{x|x\in\textbf{X}且x\notin\textbf{S}\}=\textbf{X}\setminus\textbf{S} SXc​{x∣x∈X且x∈/​S}=X∖S，如果在不会产生混淆的前提下，$\text{X}$可以不写，比如，$\text{S}=(a,b)$，则${\text{S}}^c$可以理解为$\text{S}$在实数集合$\text{R}$上的补集，即${\text{S}}^c=(-\infty ,a]\cup [b,+\infty )$

【例】偶数集合关于整数集合的补集是奇数集合。

关于补集的结论：

• $\text{S}\cup {\text{S}}_{\text{X}}^c=\text{X}$
• $\text{S}\cap {\text{S}}_{\text{X}}^c=\varnothing$
• $\text{S}\setminus \text{T}=\text{S}\cap {\text{T}}_{\text{S}}^c$

1.6.3 对偶律（De Morgan公式）

$(\text{A}\cup \text{B}{)}^c={\text{A}}^c\cap {\text{B}}^c$

$(\text{A}\cap \text{B}{)}^c={\text{A}}^c\cup {\text{B}}^c$