排序算法之堆排序

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title: 堆排序
date: 2024-7-23 15:48:25 +0800
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  description: 堆排序（Heap Sort）是一种基于堆的排序算法，具有较高的效率和稳定性。
  math: true

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堆排序

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆的排序算法，具有较高的效率和稳定性。堆排序利用堆这种完全二叉树的数据结构进行排序，常用的是大顶堆（最大堆）来实现升序排序。本文将详细介绍堆排序的原理、步骤、示例、复杂度分析及其Java代码实现。

堆排序的原理

1. 堆的定义：堆是一种完全二叉树，其中每个节点的值都大于或等于其左右子节点的值，这种堆称为大顶堆；每个节点的值都小于或等于其左右子节点的值，这种堆称为小顶堆。
2. 通常堆是通过一维[数组]来实现的。在数组起始位置为0的情形中：

• 父节点i的左子节点在位置$(2i+1)$;
• 父节点i的右子节点在位置$(2i+2)$;
• 子节点i的父节点在位置$(i-1)/2$;

3. 堆排序的基本思想：
   • 将待排序的数组构造成一个大顶堆。
   • 取出堆顶元素（当前堆中最大值），将其与堆的最后一个元素交换。
   • 调整堆结构，使其满足堆的性质，重复上述步骤直到整个数组排序完成。

堆排序的步骤

1. 构建初始堆：将无序数组构建成一个大顶堆。
2. 交换堆顶元素与末尾元素：将堆顶元素（最大值）与末尾元素交换。
3. 调整堆：将剩余元素重新调整为大顶堆。
4. 重复步骤2和3，直到所有元素有序。

图示

示例

复杂度分析

• 时间复杂度为 $O(n\log n)$、非自适应排序：建堆操作使用 $O(n)$ 时间。从堆中提取最大元素的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，共循环 $n-1$ 轮。

• 空间复杂度为 $O(1)$、原地排序：几个指针变量使用 $O(1)$ 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。

• 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。

时间复杂度

• 所有时间复杂度：$O(n\log n)$。

空间复杂度

• 空间复杂度：$O(1)$

堆排序的代码实现（Java）

public class HeapSort {// 主排序函数public static void heapSort(int[] arr) {int n = arr.length;// 构建初始大顶堆,从非叶子结点的元素处开始遍历for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {heapify(arr, n, i);}// 逐步将堆顶元素与末尾元素交换，并调整堆for (int i = n - 1; i > 0; i--) {// 将当前堆顶元素与末尾元素交换int temp = arr[0];arr[0] = arr[i];arr[i] = temp;// 调整堆heapify(arr, i, 0);}}// 调整堆public static void heapify(int[] arr, int n, int i) {int largest = i; // 当前节点int left = 2 * i + 1; // 左子节点int right = 2 * i + 2; // 右子节点// 如果左子节点大于当前节点，则更新最大值if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {largest = left;}// 如果右子节点大于当前节点，则更新最大值if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {largest = right;}// 如果最大值不是当前节点，则交换，并递归调整堆if (largest != i) {int swap = arr[i];arr[i] = arr[largest];arr[largest] = swap;//如果交换了,需要确认被交换的叶子节点仍然是个大顶堆heapify(arr, n, largest);}}// 主函数public static void main(String[] args) {int[] arr = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};System.out.println("Given Array:");for (int num : arr) {System.out.print(num + " ");}System.out.println();// 调用堆排序函数heapSort(arr);System.out.println("\nSorted Array:");for (int num : arr) {System.out.print(num + " ");}System.out.println();}
}