小白零基础学数学建模应用系列(一）：探索自由下落模型——以“坠落的硬币”为例

在数学建模竞赛中，选择一个易于理解且有趣的物理现象作为研究对象，往往能够使模型的构建和分析更具吸引力和说服力。本篇文章将以“坠落的硬币”这一经典的自由下落问题为例，探讨如何通过建立物理模型来验证或推翻常见的物理误解，并通过编写代码对模型进行求解。

一、问题背景与假设

在一些流传的说法中，若从帝国大厦顶部抛下一个硬币，其将以极快的速度撞击地面，足以嵌入混凝土中，或者严重伤害到路人。这一说法是否成立？为了探究这一问题，我们可以构建一个简化的物理模型，假设空气阻力的影响可以忽略不计，硬币仅受重力作用。

这个假设虽然并不完全合理，但为了简化模型初期的构建，我们可以暂时接受这一点，随后再通过更复杂的模型来校正这一误差。

二、数学模型的建立

在忽略空气阻力的情况下，硬币下落的过程中主要受到的力为重力，导致其做自由加速运动。假设初速度为零，经过时间 ( t ) 秒后的速度为 ( at )，其中 ( a ) 为重力加速度。硬币下落的高度 ( h ) 可表示为：

$$h=\frac{a{t}^2}{2}$$

通过代数运算，我们可以解出时间 ( t )：

$$t=\sqrt{\frac{2h}{a}}$$

将重力加速度 $$a=9.8{\text{m/s}}^2$$ 和帝国大厦高度 $$h=381\text{m}$$ 代入，计算得出$$t=8.8\text{s}$$。接下来，硬币撞击地面的速度 ( v ) 为：

$$v=at$$

计算结果为 $$v\approx 86\text{m/s}$$，约为 190 英里每小时。这个速度听起来确实很危险。

三、模型的适用性与改进

然而，上述模型基于若干简化假设。首先，我们假设了重力是常数，而实际上重力在不同地点有所不同，且随高度的增加略有减小。但这些变化较小，对本问题的影响可以忽略。

更关键的是，我们忽略了空气阻力的影响。事实上，当硬币的速度达到约 18 m/s 时，空气阻力的上升力将与重力的下压力相平衡，硬币不再加速，即达到终端速度。此时，硬币以稳定的速度下落，不论再下落多远，最终速度约为 18 m/s，远低于 86 m/s 的理论速度。

为了验证我们的假设和模型，我们可以引入空气阻力，将其纳入建模过程中，构建更为精确的数学模型。例如，通过引入空气阻力方程，可以更准确地预测硬币的终端速度及其对地面或人体的潜在影响。

四、Python代码求解模型

为了更直观地展示模型的计算过程和结果，我们可以编写一段简单的Python代码来实现上述模型的求解。以下代码展示了如何计算硬币从帝国大厦顶部坠落时的速度和所需时间。

import math# 定义常数
g = 9.8  # 重力加速度 (m/s^2)
h = 381  # 帝国大厦高度 (m)# 计算自由下落的时间
t = math.sqrt(2 * h / g)
print(f"硬币从帝国大厦顶部坠落到地面的时间为: {t:.2f} 秒")# 计算撞击地面的速度
v = g * t
print(f"硬币撞击地面的速度为: {v:.2f} m/s")

运行这段代码可以得到硬币的下落时间为 8.8 秒，撞击地面的速度为约 86 m/s。这个结果与我们前面的理论计算是一致的，进一步验证了模型的正确性。

五、结论

通过简单的模型分析和代码求解，我们可以初步得出结论：硬币从高空坠落确实会以较高的速度撞击地面，但忽略空气阻力的简化模型大大高估了这一速度。更为准确的模型预测表明，硬币的实际撞击速度约为 18 m/s，远不足以造成严重伤害。

这一过程展示了数学模型在物理问题研究中的重要性。正如统计学家 George Box 所言：“所有模型都是错的，但有些是有用的。”在建模中，理解模型的适用范围和局限性至关重要。通过更精确的模型，我们能够更接近真实情况，进而验证或推翻常见的物理误解。

希望通过本文的分析和代码示例，能够为参与数学建模竞赛的读者提供一些思路和启发。模型的选择、假设的提出与验证，以及模型的编程求解，都是建模竞赛中不可或缺的环节。