【图形学】TA之路-矩阵应用平移-旋转-大小

矩阵应用：在 Unity 中，Transform 和矩阵之间的关系非常密切。Transform 组件主要用于描述和控制一个物体在三维空间中的位置、旋转和缩放，而这些操作背后实际上都是通过矩阵来实现的

1. Transform 组件与矩阵的关系

Transform 组件包含以下三个核心属性：

• Position：物体的位置。
• Rotation：物体的旋转（通常以四元数或欧拉角表示）。
• Scale：物体的缩放。

Unity 在计算一个物体在世界空间中的最终位置、旋转和缩放时，会将这些属性组合成一个 4x4 的变换矩阵。

2. 变换矩阵 (Transformation Matrix)

变换矩阵是一个 4x4 矩阵，它可以表示一个物体在三维空间中的所有变换（平移、旋转、缩放）。这个矩阵通常被称为世界矩阵（World Matrix）或模型矩阵（Model Matrix）。

在 Unity 中，这个矩阵由 Transform 的 localToWorldMatrix 属性表示，用于将物体的本地坐标转换到世界坐标系中。

3. Unity 中矩阵的运算过程

当 Unity 计算一个物体在场景中的最终位置时，会依次应用以下矩阵变换：

• 缩放矩阵：描述物体的缩放变换。
• 旋转矩阵：描述物体的旋转变换。
• 平移矩阵：描述物体的位置变换。

4. Transform 矩阵的实际应用

当 Unity 需要将一个物体的本地坐标转换为世界坐标时，它会使用 localToWorldMatrix 进行转换。相反，如果需要将世界坐标转换为物体的本地坐标，Unity 会使用 worldToLocalMatrix。

原理解析 

当一个物体的位置、旋转、缩放分别为 {0, 0, 0}、{90, 90, 90} 和 {1, 1, 1} 时，它的变换矩阵代表了如何将物体从其本地坐标系变换到世界坐标系。

1. 平移矩阵（Translation Matrix）

位置为 {0, 0, 0}，意味着物体位于世界坐标系的原点（没有平移）。因此，平移矩阵是一个单位矩阵：

平移公式
 

2. 旋转矩阵（Rotation Matrix）

旋转为 {90°, 90°, 90°}，意味着物体在每个轴上都旋转了 90 度。这个旋转由三个矩阵（分别绕 X 轴、Y 轴、Z 轴的旋转）组合而成。

• 绕 X 轴旋转 90 度：

     

X轴旋转公式 

 

• 绕 Y 轴旋转 90 度：

     

Y轴旋转公式  

 

• 绕 Z 轴旋转 90 度：

     

 Z轴旋转公式  

  

最终的旋转矩阵是这些矩阵的乘积：

Rotation Matrix=Rotation Matrix (X)×Rotation Matrix (Y)×Rotation Matrix (Z)

3. 缩放矩阵（Scale Matrix）
缩放为 {1, 1, 1}，意味着物体在所有方向上都没有缩放。缩放矩阵也是单位矩阵

缩放公式 

 

4. 组合变换矩阵

最终的变换矩阵是平移、旋转和缩放矩阵的组合。顺序为缩放 -> 旋转 -> 平移，因此组合矩阵为：

Transformation Matrix=Translation Matrix×Rotation Matrix×Scale Matrix

源码示例（个人写的，基本是这原理吧）

using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Text;
using UnityEngine;
namespace Ethan
{public class Matrix4x4{private float[,] elements;// 构造函数public Matrix4x4(){elements = new float[4, 4];}// 用于初始化的构造函数public Matrix4x4(float[,] elements){this.elements = elements;}// 单位矩阵public static Matrix4x4 Identity(){return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, 0},{0, 1, 0, 0},{0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 零矩阵public static Matrix4x4 Zero(){return new Matrix4x4(new float[4, 4]);}// 矩阵乘法public static Matrix4x4 operator *(Matrix4x4 a, Matrix4x4 b){Matrix4x4 result = Zero();for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = 0; j < 4; j++){result.elements[i, j] = 0;for (int k = 0; k < 4; k++){result.elements[i, j] += a.elements[i, k] * b.elements[k, j];}}}return result;}// 平移矩阵public static Matrix4x4 Translate(float x, float y, float z){return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, x},{0, 1, 0, y},{0, 0, 1, z},{0, 0, 0, 1}});}// 绕X轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateX(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{1, 0, 0, 0},{0, Mathf.Cos(rad), -Mathf.Sin(rad), 0},{0, Mathf.Sin(rad), Mathf.Cos(rad), 0},{0, 0, 0, 1}});}// 绕Y轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateY(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{Mathf.Cos(rad), 0, Mathf.Sin(rad), 0},{0, 1, 0, 0},{-Mathf.Sin(rad), 0, Mathf.Cos(rad), 0},{0, 0, 0, 1}});}// 绕Z轴旋转矩阵public static Matrix4x4 RotateZ(float angle){float rad = Mathf.Deg2Rad * angle;return new Matrix4x4(new float[,]{{Mathf.Cos(rad), -Mathf.Sin(rad), 0, 0},{Mathf.Sin(rad), Mathf.Cos(rad), 0, 0},{0, 0, 1, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 缩放矩阵public static Matrix4x4 Scale(float x, float y, float z){return new Matrix4x4(new float[,]{{x, 0, 0, 0},{0, y, 0, 0},{0, 0, z, 0},{0, 0, 0, 1}});}// 矩阵与向量相乘public static Vector3 MultiplyPoint(Matrix4x4 m, Vector3 point){float x = m.elements[0, 0] * point.x + m.elements[0, 1] * point.y + m.elements[0, 2] * point.z + m.elements[0, 3];float y = m.elements[1, 0] * point.x + m.elements[1, 1] * point.y + m.elements[1, 2] * point.z + m.elements[1, 3];float z = m.elements[2, 0] * point.x + m.elements[2, 1] * point.y + m.elements[2, 2] * point.z + m.elements[2, 3];return new Vector3(x, y, z);}// 显示矩阵内容public override string ToString(){string result = "";for (int i = 0; i < 4; i++){for (int j = 0; j < 4; j++){result += elements[i, j] + "\t";}result += "\n";}return result;}}
}

调用示例
 

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
using Vector3 = Ethan.Vector3;
using Matrix4x4 = Ethan.Matrix4x4;
public class Game : MonoBehaviour
{void Start(){// 创建变换矩阵Matrix4x4 rotation = Matrix4x4.RotateY(45); // 绕Y轴旋转45度Matrix4x4 translation = Matrix4x4.Translate(10, 0, 5); // 平移Matrix4x4 scale = Matrix4x4.Scale(2, 2, 2); // 缩放// 组合变换Matrix4x4 transformation = translation * rotation * scale;// 应用到一个点Vector3 originalPoint = new Vector3(1, 1, 1);Vector3 transformedPoint = Matrix4x4.MultiplyPoint(transformation, originalPoint);// 输出结果Debug.Log("初始点: " + originalPoint);Debug.Log("转换点: " + transformedPoint);Debug.Log("变换矩阵:\n" + transformation);}}