数据结构--数据结构概述

一、数据结构三要素

1. 数据的逻辑结构

数据的逻辑结构是指数据元素之间的关系和组织方式，通常分为线性结构和非线性结构。

• 线性结构：例如线性表，其中数据元素按照顺序排列，彼此之间存在一对一的关系。

• 非线性结构：例如集合、树和图，这些结构中的数据元素之间的关系更加复杂，可能存在一对多或多对多的关系。

2. 数据的存储结构

1. 顺序存储

顺序存储是一种将数据元素按照线性顺序依次存放在一块连续的内存空间中的存储方式。它的优点在于可以通过简单的下标访问实现快速的随机访问，适合存储固定大小的数据结构，如数组。然而，顺序存储在插入和删除操作时可能会导致大量的数据移动，效率较低。

2. 链式存储

链式存储是一种将数据元素以节点的形式存放在不连续的内存空间中，每个节点包含数据部分和指向下一个节点的指针。该方式的优点在于动态内存分配，灵活性高，适合频繁插入和删除操作。链式存储的缺点是随机访问效率较低，因为需要从头节点开始逐个遍历。

3. 索引存储

索引存储是一种结合了顺序存储和链式存储优点的数据存储方式。它通过建立索引表来加速数据的查找，索引表中的每个条目指向数据存储的具体位置。该方式能够在保持较快查找速度的同时，支持高效的数据插入和删除操作。然而，索引存储需要额外的空间来维护索引，增加了存储的复杂性。

4. 散列存储

散列存储是一种通过散列函数将数据映射到固定大小的数组中存储的方式。它能够实现快速的查找、插入和删除操作，适合处理大量数据。散列存储的主要挑战在于处理哈希冲突，即不同的数据可能会被映射到相同的存储位置。常用的解决方法包括链式法和开放地址法。尽管散列存储在查找效率上表现优异，但在实现上相对复杂，并且需要合理设计散列函数以减少冲突。

3. 数据的运算

数据的运算是指对数据结构中的数据进行各种操作的过程，包括插入、删除、查找、更新等。这些运算的效率往往依赖于所选用的数据结构和存储方式，因此在设计数据结构时需充分考虑运算的需求和性能。

二、算法

1. 算法的五个重要特性

• 确定性：每个算法的步骤必须是明确的，不能存在模糊或含糊的描述。每一步操作都应清晰、具体，确保在任何情况下都能被准确理解和执行。

• 有穷性：算法必须在有限的步骤内终止。换句话说，算法不能无限循环，必须在经过有限的操作后得出结果。这一特性保证了算法的可执行性和有效性。

• 输入：一个算法可以有零个或多个输入，这些输入是算法执行所需的数据。输入可以是外部提供的，也可以是算法内部生成的，但无论如何，算法必须能够接收并处理这些输入。

• 输出：算法必须能够产生至少一个输出，输出是算法对输入进行处理后得到的结果。输出的形式和数量取决于算法的设计和具体问题的要求。

• 可行性：算法中的每一步操作都必须是可行的，能够在合理的时间内执行。有效性确保了算法不仅在理论上可行，而且在实践中能够被实现，并在合理的时间内完成计算。

2. 算法应考虑的目标

• 可读性：算法的可读性是指算法的清晰程度和易于理解的程度。一个可读性高的算法能够让其他开发者或用户轻松理解其逻辑和流程。这对于团队协作和后续维护非常重要。

• 正确性：算法的正确性是指算法能够在所有有效输入下产生正确的输出。一个正确的算法应能准确解决所设计的问题，并满足预期的功能需求。确保正确性通常需要充分的测试和验证。

• 健壮性：健壮性是指算法在面对异常输入或意外情况时的表现能力。一个健壮的算法能够处理各种边界情况、错误输入或系统故障，而不会导致崩溃或产生错误结果。这种特性对于提升用户体验和系统稳定性至关重要。

• 高效率与低存储量需求：高效率指算法在执行时能够快速完成任务，通常涉及时间复杂度的优化。低存储量需求则是指算法在运行时对内存的占用要尽量少。一个高效且节省存储的算法能够在处理大规模数据时表现出色，降低资源消耗。

3. 时间复杂度

定义：时间复杂度是用来描述算法执行所需时间的一个函数，通常用大O符号表示。它表示输入规模（通常用 n 表示）增长时，算法执行时间的增长率。

分析方式：

• 最坏情况：考虑输入数据中最不利的情况，通常用于评估算法的上限。
• 最好情况：考虑输入数据中最有利的情况，评估算法的下限。
• 平均情况：考虑所有可能输入的平均执行时间，用于评估算法的期望性能。

常见时间复杂度的分类：

• 常数时间：O(1) - 不随输入规模变化而变化，例如访问数组中的某个元素。
• 对数时间：O(log n) - 例如二分查找。
• 线性时间：O(n) - 例如遍历数组。
• 线性对数时间：O(nlogn) - 例如高效排序算法（如归并排序和快速排序）。
• 平方时间：O(n^2) - 例如冒泡排序和选择排序。
• 指数时间：O(2^n) - 例如某些递归算法（如斐波那契数列的朴素实现）。
• 阶乘时间：O(n!) - 例如解决旅行商问题的某些算法。

重要性：时间复杂度帮助我们理解算法在处理不同规模输入时的性能表现，从而选择合适的算法以提高应用程序的响应速度和用户体验。

4. 空间复杂度

定义：空间复杂度是用来描述算法在执行过程中所需内存空间的一个函数，同样通常用大O符号表示。它表示随着输入规模的增加，算法所需的存储空间的增长率。

分析方式：

• 固定部分：与输入规模无关的空间需求，例如常量空间、固定大小的变量等。
• 可变部分：与输入规模相关的空间需求，例如动态分配的数组、递归调用栈等。

常见空间复杂度的分类：

• 常数空间：O(1) - 例如只使用固定数量的变量。
• 线性空间：O(n) - 例如使用一个数组来存储输入数据。
• 平方空间：O(n^2) - 例如在某些算法中使用的二维数组。

重要性：空间复杂度帮助我们理解算法在内存使用方面的效率，尤其在处理大数据集时，合理的空间使用可以避免内存溢出和提高程序的运行效率。