【考研数学】定积分应用——旋转体体积的计算（一文以蔽之）

目录

 一、如何计算旋转体体积？思考一个小例子

二、旋转体体积的二重积分表达式

三、用真题，小试牛刀

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定积分的应用中，有一类题是求解旋转体的体积问题。

相较于记忆体积计算公式，有一种通法求解体积更不容易出错：二重积分，求体积。

先列出二重积分表达式，然后根据积分区域计算二重积分（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）。

本文，我先通过小例子引入一个定理，然后解释如何通过定理列二重积分表达式，然后再举2023年考研数学二的真题，加以说明。

提供实操指南。

 一、如何计算旋转体体积？思考一个小例子

 

上面这个体积该如何求呢？很多中学生都知道的一个技巧：

帕普斯-古尔丁定理 

 

由此，我们可以知道，如果知道旋转的图形的面积  *  旋转重心经过的距离，那么我们也就求出了旋转体的体积。

因此，我们也就可以写出二重积分表达式了。

二、旋转体体积的二重积分表达式

 

假设我们要求 区域D 绕ax+by+c = 0 这条直线旋转的体积。首先，我们在区域D中截取一小块区域记为dσ。其中，dσ = dxdy。我们把无数个这样的小区域绕直线的体积求出来，再相加。

所以，我们要将小区域的体积表达式写出来。在小区域中取一点（x，y），因为小区域本身就很小，所以任取的（x，y）可以看作是小区域的重心。用r（x，y）表示点（x，y）到直线的距离。

现在，我们就可以表示体积了。

 利用古尔丁定理理解：

体积  =  旋转重心经过的距离  *  旋转的图形的面积  

公式中，2Π r(x，y）表示旋转重心经过的距离，重心绕一圈，实际经过的距离就是圆的周长。旋转的图形的面积就是dσ。然后将这些小体积加起来，就是整个旋转体的体积。 

 至此，我们已经知道了体积的求解公式。

但考试一般考的是绕x轴、绕y轴、绕平行于x轴、绕平行于y轴的直线旋转。

其实，这也很简单，只要对公式进行细微的变动。绕的直线不同，只是它的距离r(x，y)变了。

例如，绕x轴旋转，点（x，y）距离x轴的距离是多少？答案是：y。因此只要将公式中的r(x,y)替换为y即可。同理，绕y轴旋转，将r（x，y）替换为x，公式依然成立。

再比如，图形绕x= 2 进行旋转，如果图形在x=2这条直线的右侧，那么在图形中随便取一点（x，y），它与x = 2这条直线的距离如何表示呢？答案是：x - 2。所以，公式中的r（x，y）就变为了x-2。公式应该写入什么值，要根据题目的条件进行变化。

图形绕x= 2 进行旋转，如果图形在x=2这条直线的左侧，那么在图形中随便取一点（x，y），它与x = 2这条直线的距离如何表示呢？答案是：2 - x。所以，公式中的r（x，y）就变为了2-x。

 列出二重积分表达式，然后根据积分区域计算二重积分（直角坐标、极坐标、奇偶性、对称性）。

当然，考试时有时利用极坐标、参数方程更容易求解，可以主动转化使用。

计算二重积分并不是我想讨论的重点，列出二重积分表达式后，会有很多的方法技巧计算二重积分，可自行学习。本文，旨在以不变应万变，以一个最基本的体积公式计算体积。

三、用真题，小试牛刀

 第一问并不是本文讨论的重点，读者可自行解决。

第二问详细解答：