数学建模——评价决策类算法（层次分析法、Topsis）

一、层次分析法

概念原理

        通过相互比较确定各准则对于目标的权重, 及各方案对于每一准则的权重，这些权重在人的思维过程中通常是定性的, 而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法. 将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合, 最终确定方案层对目标层的权重。

层次分析算法的基本步骤 

1、建立递阶层次结构模型

2、构造出各层次中的所有判断矩阵

3、一致性检验

4、求权重后进行评价

一致性检验

求解权重 

 例题

例题：某公司计划投资一个新项目，现有三个候选城市A、B、C可供选择。公司希望通过层次分析法来确定最佳投资地点。评价指标包括：经济发展水平、人力资源、基础设施、政策支持四个方面。

步骤1：建立递阶层次结构模型

目标层：选择最佳投资地点 准则层：经济发展水平、人力资源、基础设施、政策支持 方案层：城市A、城市B、城市C

步骤2：构造各层次中的所有判断矩阵

假设公司对四个评价指标的重要性进行了如下判断（1-9标度法）：

经济发展水平：人力资源 = 3，基础设施 = 5，政策支持 = 7 人力资源：基础设施 = 2，政策支持 = 4 基础设施：政策支持 = 1

构造准则层判断矩阵P：

对于方案层，假设公司对三个城市在各评价指标下的表现进行了如下判断：

经济发展水平：A > B > C 人力资源：A > C > B 基础设施：B > A > C 政策支持：C > A > B

构造方案层判断矩阵Q1（经济发展水平）：

构造方案层判断矩阵Q2（人力资源）：

构造方案层判断矩阵Q3（基础设施）：

构造方案层判断矩阵Q4（政策支持）：

步骤3：一致性检验

首先计算判断矩阵的最大特征值和特征向量，然后计算一致性指标CI和一致性比例CR。

步骤4：求权重后进行评价

根据步骤3的计算结果，得到各评价指标和方案的权重，进而计算出各方案的综合得分，选择得分最高的方案。

import numpy as np# 计算最大特征值和特征向量
def cal_maxEigenvalue_and_Eigenvector(matrix):eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)max_index = np.argmax(eigenvalues)max_eigenvalue = eigenvalues[max_index]max_eigenvector = eigenvectors[:, max_index]return max_eigenvalue, max_eigenvector# 一致性检验
def consistency_check(matrix, n):max_eigenvalue, max_eigenvector = cal_maxEigenvalue_and_Eigenvector(matrix)CI = (max_eigenvalue - n) / (n - 1)RI = [0, 0, 0.58, 0.9, 1.12, 1.24, 1.32, 1.41, 1.45]  # 随机一致性指标CR = CI / RI[n - 1]if CR < 0.1:print("判断矩阵的一致性可以接受，CR = {:.4f}".format(CR))return max_eigenvector / np.sum(max_eigenvector)  # 归一化特征向量else:print("判断矩阵的一致性不可接受，CR = {:.4f}".format(CR))return None# 构造判断矩阵
P = np.array([[1, 1/3, 1/5, 1/7],[3, 1, 1/2, 1/4],[5, 2, 1, 1/3],[7, 4, 3, 1]])Q1 = np.array([[1, 3, 5],[1/3, 1, 3],[1/5, 1/3, 1]])Q2 = np.array([[1, 3, 5],[1/3, 1, 3],[1/5, 1/3, 1]])Q3 = np.array([[1, 1/3, 1/5],[3, 1, 3],[5, 1/3, 1]])Q4 = np.array([[1, 1/3, 1/5],[3, 1, 3],[5, 1/3, 1]])# 进行一致性检验并计算权重
weights_P = consistency_check(P, 4)
weights_Q1 = consistency_check(Q1, 3)
weights_Q2 = consistency_check(Q2, 3)
weights_Q3 = consistency_check(Q3, 3)
weights_Q4 = consistency_check(Q4, 3)# 如果一致性检验未通过，则无法继续计算
if weights_P is None or weights_Q1 is None or weights_Q2 is None or weights_Q3 is None or weights_Q4 is None:print("存在判断矩阵的一致性不可接受，请重新评估。")
else:# 计算各方案的综合得分scores = np.dot(weights_P, np.array([weights_Q1, weights_Q2, weights_Q3, weights_Q4]))print("各城市的综合得分：")for i, score in enumerate(scores):print("城市{}：{:.4f}".format(chr(65+i), score))# 选择得分最高的城市best_city_index = np.argmax(scores)print("最佳投资地点是：城市{}".format(chr(65+best_city_index)))

请注意，这段代码假设所有的判断矩阵都通过了一致性检验。在实际应用中，如果任何一个判断矩阵没有通过一致性检验，就需要重新评估矩阵中的元素，直到所有矩阵都通过一致性检验。

此外，代码中的RI数组是一个预定义的随机一致性指标，它依赖于矩阵的大小（即准则的数量）。如果准则层或方案层的元素数量超过9，那么需要查找额外的RI值。

运行上述代码将给出每个城市的综合得分，并确定最佳投资地点。这个过程体现了层次分析法的核心步骤，包括建立模型、构造判断矩阵、一致性检验和权重计算。

二、Topsis算法

模型原理

基本步骤

原始矩阵正向化

正向化矩阵标准化 

 计算得分并归一化

 例题

假设某公司需要从三个供应商（A、B、C）中选择一个作为长期合作伙伴。评价指标包括：价格、质量、交货时间和售后服务。以下是供应商在每个指标上的原始评分（价格越低越好，其他指标越高越好）：

首先，我们将价格指标正向化，因为价格是成本型指标，越低越好，而其他指标是效益型指标，越高越好。

正向化后的矩阵X’：

X' = [[1/10, 85, 3, 90],[1/12, 90, 5, 85],[1/11, 88, 4, 88]]

对正向化后的矩阵进行标准化处理，得到标准化矩阵R。

X_prime = np.array([[1/10, 85, 3, 90],[1/12, 90, 5, 85],[1/11, 88, 4, 88]])# 计算每列的平方和
squared_sums = np.sum(X_prime**2, axis=0)# 标准化矩阵R
R = X_prime / np.sqrt(squared_sums)

假设每个指标的权重相等，即每个指标的权重为1/4。

# 权重向量W
W = np.array([1/4, 1/4, 1/4, 1/4])# 计算加权得分
V = R * W

归一化得分：

# 计算得分向量V的平方和
v_squared_sums = np.sum(V**2, axis=1)# 归一化得分
S = V / np.sqrt(v_squared_sums)[:, np.newaxis]

 完整代码：

import numpy as np# 原始矩阵正向化
X_prime = np.array([[1/10, 85, 3, 90],[1/12, 90, 5, 85],[1/11, 88, 4, 88]])# 标准化矩阵R
squared_sums = np.sum(X_prime**2, axis=0)
R = X_prime / np.sqrt(squared_sums)# 权重向量W
W = np.array([1/4, 1/4, 1/4, 1/4])# 计算加权得分
V = R * W# 归一化得分
v_squared_sums = np.sum(V**2, axis=1)
S = V / np.sqrt(v_squared_sums)[:, np.newaxis]# 输出归一化得分
print("各供应商的归一化得分：")
for i, s in enumerate(S):print(f"供应商 {chr(65+i)}: {s}")