机器学习——决策树，朴素贝叶斯

一.决策树

• 决策树中的基尼系数（Gini Index）是用于衡量数据集中不纯度（或混杂度）的指标。基尼系数的取值范围在0到0.5之间，其中0表示数据完全纯（同一类别），0.5表示数据完全混杂。

基尼系数的公式

对于一个节点，基尼系数的计算公式为：

$$Gini(p)=1-\sum _{i=1}^n{p}_i^2$$
其中：

• ( n ) 是类别的总数。
• ( p_i ) 是属于类别 ( i ) 的样本所占的比例。

计算步骤

假设在某个节点上有 ( m ) 个样本，分别属于 ( n ) 个不同的类别，类别 ( i ) 的样本数量为 ( c_i )，那么：

$$p_i=\frac{c_i}{m}$$
将 ( p_i ) 带入基尼系数公式，可以得到：

$$Gini(p)=1-\sum _{i=1}^n{\left(\frac{c_i}{m}\right)}^2$$

示例计算

假设某个节点上有以下数据分布：

• 类别 A: 4 个样本
• 类别 B: 6 个样本
• 类别 C: 10 个样本

总样本数量 ( m = 4 + 6 + 10 = 20 )。

每个类别的比例为：

• 类别 A:
  $$p_A=\frac{4}{20}=0.2$$

• 类别 B:
  $$p_B=\frac{6}{20}=0.3$$

• 类别 C:
  $$p_C=\frac{10}{20}=0.5$$

基尼系数计算如下：

$$Gini(p)=1-(0.2^2+0.3^2+0.5^2)=1-(0.04+0.09+0.25)=1-0.38=0.62$$

该节点的基尼系数为 0.62，表示数据在这个节点上具有一定的不纯度。基尼系数越小，节点越纯，因此在构建决策树时，通常选择基尼系数最小的划分方式来分割数据。

• DecisionTreeClassifier 是 scikit-learn 库中用于分类任务的决策树模型。决策树通过一系列决策规则将数据分成不同的类别。

1. criterion（默认值："gini"）

• 含义：用于衡量数据分裂质量的指标。
• 取值：
  • "gini"：使用基尼不纯度（Gini impurity）作为分裂的标准。基尼不纯度是衡量集合中随机选择的两个元素属于不同类别的概率。
  • "entropy"：使用信息增益（Information Gain），基于信息熵（Entropy）来选择分裂点。

2. splitter（默认值："best"）

• 含义：选择每次分裂的策略。
• 取值：
  • "best"：在所有特征中选择最佳分裂点。
  • "random"：随机选择特征的最佳分裂点。

3. max_depth（默认值：None）

• 含义：控制决策树的最大深度。树的深度越大，模型越复杂。
• 取值：
  • None：树会一直生长，直到所有叶节点是纯的，或者每个叶节点包含少于 min_samples_split 个样本。
  • int：树的最大深度。较小的值防止过拟合，较大的值允许树更复杂。

4. min_samples_split（默认值：2）

• 含义：内部节点再分裂所需的最小样本数。
• 取值：
  • int：指定最小样本数的具体值。
  • float：以比例形式指定最小样本数（即一个0到1之间的小数）。

5. min_samples_leaf（默认值：1）

• 含义：叶节点所需的最小样本数。可以防止模型生成包含少量样本的叶节点。
• 取值：
  • int：指定最小样本数的具体值。
  • float：以比例形式指定最小样本数。

6. min_weight_fraction_leaf（默认值：0.0）

• 含义：叶节点所需的最小样本权重的比例。
• 取值：
  • float：介于0到1之间，通常用于处理样本权重。

7. max_features（默认值：None）

• 含义：在每次分裂时考虑的最大特征数量。
• 取值：
  • None：使用所有特征。
  • int：使用指定数量的特征。
  • float：使用特定比例的特征。
  • "auto"：等同于 sqrt(n_features)。
  • "sqrt"：等同于 sqrt(n_features)。
  • "log2"：等同于 log2(n_features)。

8. random_state（默认值：None）

• 含义：控制随机数生成器的种子，以便结果可以复现。
• 取值：
  • None：随机种子。
  • int：指定种子。

9. max_leaf_nodes（默认值：None）

• 含义：限制树的最大叶节点数。设置此参数会优先于 max_depth。
• 取值：
  • None：不限制叶节点数量。
  • int：最大叶节点数量。

10. min_impurity_decrease（默认值：0.0）

• 含义：节点分裂后不纯度下降的最小值。如果不纯度下降小于这个值，节点将不再分裂。
• 取值：
  • float：一个非负值。

11. class_weight（默认值：None）

• 含义：为不同类别指定权重，用于处理类别不平衡问题。
• 取值：
  • None：不调整类别权重。
  • dict：根据指定字典中的权重调整类别。
  • "balanced"：根据类频率调整权重，权重与样本数量成反比。

12. ccp_alpha（默认值：0.0）

• 含义：复杂度剪枝参数，作为最小成本复杂度修剪的参数。增加此值将导致更简单的树。
• 取值：
  • float：一个非负值。越大越能剪枝。

示例代码

#决策树from sklearn.datasets import load_wine
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.metrics import accuracy_score# 1. 加载数据集
wine = load_wine()
X = wine.data
y = wine.target# 2. 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 3. PCA降维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)# 4. 将数据集划分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_pca, y, test_size=0.3, random_state=32)# 5. 决策树预估器
nb = DecisionTreeRegressor()
nb.fit(X_train, y_train)# 6. 预测和评估
y_pred = nb.predict(X_test)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)print(f"分类准确率: {accuracy:.2f}")

• 控制树的复杂性：可以通过调整 max_depth、min_samples_split、min_samples_leaf、max_leaf_nodes 等参数来控制决策树的复杂性，避免过拟合。
• 处理类别不平衡：使用 class_weight 参数为不同类别指定权重。

二.朴素贝叶斯

朴素贝叶斯（Naive Bayes）是基于贝叶斯定理的一类简单而强大的分类算法。尽管它的假设比较强（特征之间条件独立），但在许多实际应用中效果非常好。下面是朴素贝叶斯算法的数学原理：

1. 贝叶斯定理

贝叶斯定理是朴素贝叶斯分类器的基础，用于计算后验概率。贝叶斯定理的公式如下：
$$P(y\mid X)=P(X\mid y)\cdot P(y)P(X)P(y|X)=\frac{P(X|y)\cdot P(y)}{P(X)}P(y\mid X)=P(X)P(X\mid y)\cdot P(y)$$
其中：

• $$P(y\mid X)P(y|X)P(y\mid X)$$

  是给定特征 XXX 时类别 yyy 的后验概率。

• P(X∣y)P(X | y)P(X∣y) 是在类别 yyy 的条件下，特征 XXX 出现的概率，即似然度。

• P(y)P(y)P(y) 是类别 yyy 的先验概率。

• P(X)P(X)P(X) 是特征 XXX 的边际概率（用于归一化）。

2. 朴素假设

朴素贝叶斯模型做了一个关键的简化假设，即特征之间是条件独立的，这意味着给定类别 yyy 时，特征
$$X1,X2,\dots ,Xn{X}_1,X_2,\dots ,X_{n}X1,X2,\dots ,Xn$$
是独立的。这一假设大大简化了后验概率的计算，使得模型易于实现且计算效率高。

在这种假设下，贝叶斯定理可以简化为：
$$P(y\mid X1,X2,\dots ,Xn)\propto P(y)\cdot P(X1\mid y)\cdot P(X2\mid y)\cdot \cdots \cdot P(Xn\mid y)P(y|X_1,X_2,\dots ,X_n)\propto P(y)\cdot P(X_1|y)\cdot P(X_2|y)\cdot \cdots \cdot P(X_n|y)P(y\mid X1,X2,\dots ,Xn)\propto P(y)\cdot P(X1\mid y)\cdot P(X2\mid y)\cdot \cdots \cdot P(Xn\mid y)$$
这意味着我们可以通过计算各个特征在每个类别下的条件概率，并将它们相乘来计算后验概率。

• MultinomialNB() 多项式朴素贝叶斯和 GaussianNB() 都是朴素贝叶斯（Naive Bayes）分类器的变种，适用于不同类型的数据。

1. MultinomialNB()–多项式朴素贝叶斯

• MultinomialNB() 是朴素贝叶斯分类器的一种，适用于多项式分布数据或者称为计数数据的分类问题。它假设特征是由一个多项分布生成的，这在文本分类和其他类型的分类任务中非常常见。

适用情况：

• 数据特征应为计数数据，如文档中单词出现的次数。
• 特征可以是整数计数，通常是非负的。
• 多项式朴素贝叶斯通常用于文本分类，其中特征向量表示单词出现的频率或者 TF-IDF 权重。

工作原理：

• 计算每个类别的条件概率，即给定类别下每个特征的概率分布。
• 使用贝叶斯定理计算后验概率，并结合各特征的条件概率，得出最终的分类结果。
  #多项式朴素贝叶斯

from sklearn.datasets import load_wine
from sklearn.preprocessing import StandardScaler #标准化
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler#归一化
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB
import numpy as npdata = load_wine()x= data.data# #标准化
# transfer = StandardScaler()
# x1 =transfer.fit_transform(x)# 2. 缩放数据到[0, 1]范围
scaler = MinMaxScaler()
x1 = scaler.fit_transform(x)#PCA降维
tr = PCA(n_components=0.89)
x2 = tr.fit_transform(x1)# 4. 将负值平移为非负值
x3 = x2- np.min(x2)x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x3, data.target,test_size=0.2,random_state=44)#MultinomialNB分类--多项式朴素贝叶斯
model = MultinomialNB()
model.fit(x_train,y_train)score = model.score(x_test,y_test)
print(score)

2. GaussianNB()

• GaussianNB() 是朴素贝叶斯分类器的另一种形式，适用于特征服从正态分布（Gaussian Distribution）的数据分类问题。

适用情况：

• 特征数据应为连续值，符合正态分布。
• 可以处理实数特征，如一些测量值或者物理量。

工作原理：

• 假设每个类别的特征值服从正态分布，通过计算每个类别下特征的均值和方差来估计类别条件概率分布。
• 使用贝叶斯定理计算后验概率，并结合特征的正态分布参数，得出最终的分类结果。
  #朴素贝叶斯分类

from sklearn.datasets import load_wine
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.metrics import accuracy_score# 1. 加载数据集
wine = load_wine()
X = wine.data
y = wine.target# 2. 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)# 3. PCA降维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X_scaled)# 4. 将数据集划分为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_pca, y, test_size=0.3, random_state=42)# 5. 朴素贝叶斯分类
nb = GaussianNB()
nb.fit(X_train, y_train)# 6. 预测和评估
y_pred = nb.predict(X_test)
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)print(f"分类准确率: {accuracy:.2f}")

总结比较

• 数据类型：

  • MultinomialNB() 适用于离散型特征，如计数数据。
  • GaussianNB() 适用于连续型特征，如实数数据。

• 假设：

  • MultinomialNB() 假设特征是由多项分布生成的。
  • GaussianNB() 假设特征值服从正态分布。

• 应用场景：

  • MultinomialNB() 在文本分类（如垃圾邮件分类）、推荐系统（基于用户行为的分类）等方面表现良好。
  • GaussianNB() 在数据特征服从正态分布的情况下表现良好，如一些传感器数据的分类或者健康检测领域。