动态规划-分割回文串ⅡⅣ

在本篇博客中将介绍分割回文串Ⅱ以及分割回文串Ⅳ这两个题目。

 分割回文串Ⅱ

题目描述

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。 返回符合要求的 最少分割次数 。

示例：

输入：s = "aabac"

输出：2

解释：只需2次分割就可将 s 分割成 ["a","aba","c"] 这样3个回文子串。

解题思路

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming, DP）的方法。具体来说，我们可以先计算出字符串 s 中所有子串是否是回文串，并存储这个结果，以便后续使用。然后，我们再次使用动态规划来找出将字符串 s 分割成回文子串所需的最少分割次数。

第一步：判断子串是否为回文

我们定义一个二维数组 dp1[i][j]，其中 dp1[i][j] 表示从索引 i 到索引 j 的子串 s[i...j] 是否是回文串。我们可以从字符串的两端向中间遍历，并更新这个数组(这部分与此前回文子串一题中相同 动态规划-回文子串-CSDN博客)。

第二步：动态规划求解最少分割次数

这一步的动态规划思路主要是基于已经判断好的回文子串信息，来求解将整个字符串 s 分割成多个回文子串所需的最少分割次数。这里的关键在于利用动态规划来避免重复计算，并逐步构建出整个问题的解。

1. 定义状态：
   • 定义 dp2[i] 表示将字符串 s 的前 i+1 个字符（即 s[0...i]）分割成多个回文子串所需的最少分割次数。
2. 初始化：
   • dp2[0] 初始化为 0，因为空字符串不需要分割。
3. 状态转移：
   • 对于每个位置 i（从 1 到 n-1，其中 n 是字符串 s 的长度），我们需要找到所有可能的分割点 j（从 0 到 i-1），使得 s[j+1...i] 是一个回文串。这可以通过查询之前计算好的 dp1 数组来实现，其中 dp1[j+1][i] 表示 s[j+1...i] 是否为回文串。
   • 如果找到了这样的 j，那么我们可以将 s[0...i] 分割为 s[0...j] 和 s[j+1...i] 两部分，其中 s[j+1...i] 已经是一个回文串，不需要进一步分割。因此，s[0...i] 的最少分割次数就是 s[0...j] 的最少分割次数（即 dp2[j]）加上 1（因为我们在 j 和 i 之间进行了一次分割）。
   • 我们需要遍历所有可能的 j，并更新 dp2[i] 为这些分割方案中的最小值。
4. 结果：
   • 最终，dp2[n-1] 就是整个字符串 s 的最少分割次数。

代码示例

class Solution {
public:int minCut(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, false));for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = true;                     // 单个都是回文子串if (i + 1 < n && s[i] == s[i + 1]) { // 两个相同的字符构成回文子串dp[i][i + 1] = true;}}for (int len = 3; len <= n; len++) { // 从字串长度为3开始遍历for (int i = 0; i < 1 + n - len; i++) { // i+len-1<nint j = i + len - 1;if (s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1] == true) {dp[i][j] = true;}}}vector<int> f(n,INT_MAX); // f[i]: 从0到i 的子串 所符合要求的 最少分割次数f[0] = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {if (dp[0][i] == true) { // 从0到i 的子串是回文串f[i] = 0;} else {for (int j = 0; j <= i; j++) {if (dp[j][i]) {f[i] = min(f[j - 1] + 1, f[i]);}}}}return f[n - 1];}
};

 分割回文串Ⅳ

题目描述

给你一个字符串 s ，如果可以将它分割成三个 非空 回文子字符串，那么返回 true ，否则返回 false 。

当一个字符串正着读和反着读是一模一样的，就称其为 回文字符串 。

示例 1：

输入：s = "abcbdad"

输出：true

解释："abcbdd" = "a" + "bcb" + "dad"，三个子字符串都是回文的。

示例 2：

输入：s = "abaccdef"

输出：false

解释：s 没办法被分割成 3 个回文子字符串。

解题思路

这一题与上题相似，要解决这个问题，我们可以采用一种比较直观的方法，即遍历所有可能的分割点，然后检查每个分割点形成的三个子字符串是否都是回文串。为了高效地检查一个子字符串是否是回文串，我们可以先预处理一个二维数组（或者使用一个函数），用于快速判断任意子字符串是否为回文。

第一步：初始化动态规划数组

• 定义一个二维布尔数组dp，其中dp[i][j]表示字符串s从索引i到索引j（包含两端）的子串是否是回文子串。
• 初始化对角线元素dp[i][i]为true，因为单个字符自然是回文子串。
• 初始化相邻元素dp[i][i+1]为true，如果s[i]和s[i+1]相等，因为两个相同的字符也构成回文子串。

第二步：填充动态规划数组

• 使用两层循环遍历所有可能的子串长度（从3开始，因为长度为1和2的情况已经在第一步中处理过了）和起始位置。
• 对于每个子串，检查其首尾字符是否相等，并且去掉首尾字符后的子串（即dp[i+1][j-1]）是否是回文子串。如果这两个条件都满足，则当前子串是回文子串，将dp[i][j]设置为true。

第三步：检查是否存在有效的分割

• 使用两层循环遍历所有可能的分割点（第一个和第二个分割点），以检查是否存在一种分割方式，使得字符串s被分为三个非空回文子串。
• 对于每个分割点组合(i, j)，其中i是第一个分割点的位置（不包括），j是第二个分割点的位置（不包括），检查dp[0][i-1]、dp[i][j-1]和dp[j][n-1]是否都为true。如果是，则表示找到了一个有效的分割方式，返回true。
• 如果遍历完所有可能的分割点组合后都没有找到有效的分割方式，则返回false。

代码示例

class Solution {
public:bool checkPartitioning(string s) {int n = s.size();vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, false));for (int i = 0; i < n; i++) {dp[i][i] = true;                     // 单个都是回文子串if (i + 1 < n && s[i] == s[i + 1]) { // 两个相同的字符构成回文子串dp[i][i + 1] = true;}}for (int len = 3; len <= n; len++) { // 从字串长度为3开始遍历for (int i = 0; i < 1 + n - len; i++) { // i+len-1<nint j = i + len - 1;if (s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1] == true) {dp[i][j] = true;}}}for (int i = 0; i < n - 1; i++) {for (int j = i + 1; j < n - 1; j++) {if (dp[0][i] && dp[i + 1][j] && dp[j + 1][n - 1]) {return true;}}}return false;}
};