深度学习中的常用线性代数知识汇总——第一篇：基础概念、秩、奇异值

0. 前言

按照国际惯例，首先声明：本文只是我自己学习的理解，虽然参考了他人的宝贵见解及成果，但是内容可能存在不准确的地方。如果发现文中错误，希望批评指正，共同进步。

在深度学习中，线性代数是最基础数学工具，它为构建和理解神经网络提供了必要的数学框架。这门课程虽然是我们大学中的必修课，但是由于其内容的晦涩、抽象以及缺少实际应用说明，是最容易还给老师的学科。

本文将汇总在深度学习中常用的、又是非常容易被忘记的线性代数知识点，并结合PyTorch代码以及深度学习中的实际应用加以说明。本文适用于任何想认真研究深度学习的新手，而对于老手同样也推荐再学习一下线性代数以夯实基础，并能激发出更深层次的思考。

这是一个系列文章，相关文章链接如下：

• 第一篇：基础概念、秩、奇异值（本篇）
• 第二篇：行列式、逆矩阵、特征值与特征向量
• 第三篇：协方差矩阵、主成分分析、正交性与正定性

1. 基础概念

这一章是基础中的基础，也都非常好理解，大多数人可以跳过此章节~

1. 向量：一个向量可以用一个列向量来表示：
   $$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$$

2. 矩阵：一个简单的 2x3 矩阵可以写作：
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$$

3. 标量：一个标量就是一个单独的数字：
   $$s=3$$

4. 向量加法：假设我们有两个向量$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$：
   $$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$$
   它们的和为：
   $$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1+3\\ 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right)$$

5. 向量标量乘法：如果用标量$s=2$ 乘以向量 $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$：
   $$2\cdot \mathbf{v}=2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 1\\ 2\cdot 2\\ 2\cdot 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6\end{array}\right)$$

6. 矩阵加法：如果有两个同维度的矩阵 $A$和 $B$：
   $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$
   它们的和为：
   $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right)$$

7. 矩阵标量乘法：如果用标量 $s=3$乘以矩阵$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$：
   $$3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 1& 3\cdot 2\\ 3\cdot 3& 3\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right)$$

8. 矩阵乘法（点乘）：假设有两个矩阵$A$ 和 $B$，其中 $A$是 2x3 矩阵，$B$ 是 3x2 矩阵：
   $$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\\ 11& 12\end{array}\right)$$
   它们的乘积为：
   $$AB=\left(\begin{array}{cc}(1\cdot 7+2\cdot 9+3\cdot 11)& (1\cdot 8+2\cdot 10+3\cdot 12)\\ (4\cdot 7+5\cdot 9+6\cdot 11)& (4\cdot 8+5\cdot 10+6\cdot 12)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}58& 64\\ 139& 154\end{array}\right)$$

9. 转置：矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)$ 的转置 $A^T$是：
   $$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$$

10. Hadamard 乘积：假设我们有两个 2x2 矩阵$A$和 $B$：

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$

那么 $A$ 和 $B$的 Hadamard 乘积$C=A\circ B$ 将会是：

$$C=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 5& 2\cdot 6\\ 3\cdot 7& 4\cdot 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 12\\ 21& 32\end{array}\right)$$

这就是通过对应元素相乘得到的矩阵。

2. 矩阵的秩

2.1 秩的定义

矩阵的秩定义为：矩阵中非零子式的最高阶数。具体来说，如果矩阵$A$中存在一个$r$阶非零子式，且所有$r+1$阶及更高阶的子式都为零，则称$r$为矩阵$A$的秩，记作$rank(A)=r$或$R(A)=r$。

看到上面这段定义，你头皮发麻了吗？我也明白了当年为什么学不好线性代数了。

秩，可以理解为矩阵中线性独立列（或行）的最大数量，这样理解就简单多了，但是可能仍然比较抽象，这里可以举一个简单的例子：

如果一个人让你帮忙解一个方程组：

$$\begin{array}{r}x+y+z=1\\ x+2y+2z=5\end{array}$$

上过初中的我们都知道，要想解出这里的$x$，$y$，$z$至少还需要一个方程，于是他又给了：

$$2x+3y+3z=6$$

看到这，你会不会给他一个大大的白眼，因为第三个方程它“没有用”啊！它就是第一个和第二个方程的左右分别加合而已，第三个方程的引入并没有新的信息量。如果我们把上面的系数写成矩阵的形式：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 2& 3& 3\end{array}\right)$$

我们也可以发现：这个矩阵中的任意一行，是可以通过其他两行进行线性组合计算出来（例如：第二行 = -1×第一行+1×第三行）的，即这个矩阵的线性独立行为2，那么这个矩阵的行秩即为2。（列秩也是同样的道理）

2.2 秩的计算方法

计算矩阵的秩有多种方法，以下种常见的计算方法：

1. 行阶梯形形式（Row Echelon Form, REF）
2. 行最简形（Reduced Row Echelon Form, RREF）
3. 高斯消元法（Gaussian Elimination）
4. 高斯-若尔当消元法（Gauss-Jordan Elimination）
5. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）
6. QR 分解（QR Decomposition）
7. LU 分解（LU Decomposition）
8. 列空间和零空间（Column Space and Null Space）分析

这些方法都可以用来确定矩阵的秩，每种方法都有其适用场景和特点。这块不是本文的介绍重点，后面仅详细介绍奇异值分解SVD方法，其他方法有需要可以自行百度。

也可以使用PyTorch中的.matrix_rank()方法求解矩阵的秩，示例代码如下：

import torch# 创建一个矩阵
matrix = torch.tensor([[1,1,1],[1,2,2],[2,3,3]],dtype=torch.float32)
# 计算矩阵的秩
rank = torch.linalg.matrix_rank(matrix)
print("Matrix:\n", matrix)
print("Rank of the matrix:", rank)

输出为：

Matrix:tensor([[1., 1., 1.],[1., 2., 2.],[2., 3., 3.]])
Rank of the matrix: tensor(2)

2.3 秩在深度学习中的应用

1. 低秩近似：通过将高维的权重矩阵分解为低秩矩阵的乘积，可以显著减少模型的参数数量，从而实现模型压缩。这不仅减少了模型的存储需求，还能加速模型的训练和推理过程。
2. 特征选择：通过对权重矩阵的秩进行分析，可以识别出哪些特征是冗余的（联想下上面说的“没有用”的方程），从而帮助进行特征选择，进一步减少模型复杂度。
3. 正则化：通过正则化技术（如 L1 或 L2 正则化）来惩罚权重矩阵的范数，间接控制矩阵的秩（简单来说，正则化惩罚会鼓励权重矩阵中的元素变为0，如果矩阵中有多个零向量，那么矩阵的秩就会下降。），从而减少模型的复杂度，防止过拟合。
4. 模型泛化能力：适当的矩阵秩有助于提升模型的泛化能力。如果矩阵的秩过高，可能导致模型过于复杂而过拟合；如果秩过低，则可能使模型过于简单而欠拟合。

3. 矩阵的奇异值

矩阵的奇异值是矩阵的一个重要属性，它们出现在矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）中。奇异值分解是线性代数中的一个重要工具，广泛应用于数据分析、信号处理、机器学习等领域。下面详细介绍矩阵的奇异值及其相关概念。

3.1 奇异值分解（SVD）

对于任何一个 $m\times n$的矩阵 $A$，都可以将其分解为三个矩阵的乘积：
$$A=U\Sigma V^T$$
其中：

• $U$是一个 $m\times m$的酉矩阵（orthogonal matrix），它的列向量是$A$的左奇异向量。
• $\Sigma$是一个 $m\times n$ 的对角矩阵，对角线上是矩阵 $A$的奇异值，通常按从大到小的顺序排列。
• $V$是一个$n\times n$的酉矩阵，它的列向量是$A$ 的右奇异向量。

3.2 奇异值的定义

奇异值是对角矩阵$\Sigma$中的非负实数对角元素。如果矩阵$A$的秩为$r$，那么它有 $r$个非零奇异值。其余的奇异值均为零。

3.3 奇异值的性质

1. 非负性：奇异值是非负实数，即 ${\sigma }_i\ge 0$。
2. 排序：通常情况下，奇异值按从大到小的顺序排列，即 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge \dots \ge {\sigma }_r>0$。
3. 秩：矩阵的秩等于非零奇异值的数量。
4. 范数：最大奇异值是矩阵的谱范数（spectral norm），即 $\Vert A{\Vert }_2={\sigma }_1$。
5. 伪逆：奇异值分解可以用于计算矩阵的伪逆（Moore-Penrose pseudoinverse），即 $A^{†}=V{\Sigma }^{†}{U}^T$，其中 ${\Sigma }^{†}$ 是 $\Sigma$的对角矩阵，其非零对角元素替换为各自的倒数。

3.4 奇异值的意义

奇异值提供了矩阵的重要信息，包括但不限于：

• 矩阵的秩：矩阵的秩等于非零奇异值的数量。
• 矩阵的稳定性：奇异值的分布可以反映矩阵的稳定性。如果奇异值差距很大，矩阵可能是病态的（ill-conditioned），这意味着它对数值计算中的微小变化很敏感。
• 特征向量：奇异值分解提供了矩阵的特征向量（后续文章会讲），这些向量可以用于数据的降维和特征提取。
• 低秩近似：通过保留最大的几个奇异值及其对应的奇异向量，可以构造矩阵的低秩近似，这对于数据压缩和降维很有用。（即2.3节中的第1点）

3.5 实例说明

假设我们有一个 3x2 的矩阵 $A$：

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

对其进行 SVD 分解，得到：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中 $U$和 $V$ 是酉矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵，包含奇异值。例如：

$$U=\left(\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ u_{21}& u_{22}& u_{23}\\ u_{31}& u_{32}& u_{33}\end{array}\right),\Sigma =\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ 0& {\sigma }_2\\ 0& 0\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}{v}_{11}& v_{12}\\ v_{21}& v_{22}\end{array}\right)$$

这里的 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$就是矩阵 $A$ 的奇异值。而奇异值的求解我们仍可以借助PyTorch：

import torch# 创建一个随机矩阵
A = torch.tensor([[1,2],[3,4],[5,6]],dtype=torch.float32)# 使用 torch.svd 进行奇异值分解
U, S, Vt = torch.svd(A)print("Left singular vectors (U):")
print(U)
print("Singular values (S):")
print(S)
print("Right singular vectors (V^T):")
print(Vt)

输出为：

Left singular vectors (U):
tensor([[-0.2298,  0.8835],[-0.5247,  0.2408],[-0.8196, -0.4019]])
Singular values (S):
tensor([9.5255, 0.5143])
Right singular vectors (V^T):
tensor([[-0.6196, -0.7849],[-0.7849,  0.6196]])

我们可以反过来通过重构$A$来验算下过程的正确性：

import numpy as np
# 重构矩阵 A
Sigma = np.zeros((3, 2),dtype=np.float32)
Sigma[:2, :2] = np.diag(S)A_reconstructed = U @ Sigma @ Vt
print(A_reconstructed)

输出为：

tensor([[1.0000, 2.0000],[3.0000, 4.0000],[5.0000, 6.0000]])

3.6 奇异值在深度学习中的应用

权重的奇异值在深度学习中具有重要的意义，因为它们反映了权重矩阵的结构和性质。可以提供关于模型复杂度、稳定性以及潜在的优化方向的信息。

1. 矩阵的秩与模型复杂度：非零奇异值较高意味着秩较大，这通常意味着模型有更多的自由度来拟合数据。如果秩过高，模型可能会过拟合；如果秩过低，则可能导致欠拟合。

2. 模型的稳定性：条件数是矩阵的最大奇异值与最小非零奇异值的比值。条件数越大，矩阵越接近奇异，这意味着模型可能对输入数据的变化更加敏感。条件数较大的矩阵在数值计算中容易出现问题，如梯度消失或梯度爆炸。通过观察权重矩阵的奇异值分布，可以评估模型的数值稳定性。

3. 模型的可解释性：奇异值分解不仅提供了奇异值，还提供了左奇异向量和右奇异向量。这些向量可以解释为模型中的重要特征或模式。通过分析奇异向量，可以识别哪些特征对于模型的决策最重要，从而帮助进行特征选择或特征工程。

4. 模型压缩与加速：通过保留权重矩阵的最大几个奇异值及其对应的奇异向量，可以构建低秩近似矩阵。这种方法可以显著减少模型的参数数量，从而实现模型压缩。低秩近似不仅可以减少参数数量，还可以减少计算复杂度，从而提高模型的推理速度。

5. 正则化与防止过拟合：通过正则化技术（如 L2 正则化）惩罚权重矩阵的范数，可以间接地控制奇异值的大小，从而控制矩阵的秩。通过限制奇异值的大小，可以减少模型的复杂度，从而防止过拟合现象的发生。