Python 数学建模——Vikor 多标准决策方法

前言

  Vikor 归根到底其实属于一种综合评价方法。说到综合评价方法，TOPSIS（结合熵权法使用）、灰色关联度分析、秩和比法等方法你应该耳熟能详。Vikor 未必比这些方法更出色，但是可以拓展我们的视野。接下来先介绍 Vikor 方法的原理，再结合一个例子使用 Vikor 方法进行 Python 建模。

原理

  Vikor 方法是一种基于多个标准，选择最好的（折中的）策略的方法。非常类似于 TOPSIS 综合评价方法。
  多标准决策（MCDM）问题描述为：现有 $n$ 个可行方案，每个方案均有 $m$ 个指标，用 $f_{ij}$ 表示第 $i$ 个方案的第 $j$ 个指标。现在要求出多准则意义上的最佳（折衷）解决方案。例如，现在有 $A_1-A_4$ 四架飞机（即 $n=4$），每架飞机有 $m=6$ 个指标，如下表所示，请你选出多准则意义上最好的飞机。

飞机编号	最大速度	飞行半径	最大负载	费用	可靠性	灵敏度
$A_1$	$2.0$	$1500$	$20000$	$5500000$	$0.5$	$1$
$A_2$	$2.5$	$2700$	$18000$	$6500000$	$0.3$	$0.5$
$A_3$	$1.8$	$2000$	$21000$	$4500000$	$0.7$	$0.7$
$A_4$	$2.2$	$1800$	$20000$	$5000000$	$0.5$	$0.5$

这是司守奎等的《Python 数学实验与建模》上的一个例题。

步骤

  Vikor 评价法的步骤如下：

1. 对每个指标 $f_{ij}$ 进行处理，使得处理后的指标都是极大型指标，仍用 $f_{ij}$ 表示。无需归一化、无量纲化。

极大型指标指的是值越大越好的指标，如效率、产能、可靠性等，又称“效益型指标”。相对地，极小型指标指的是值越小越好的指标，如能耗、费用等，又称“成本性指标”。还有一类中间型指标，其值太大太小都不好，位于一个区间才合适，例如人的 BMI。

2. 对每个指标确定正理想解 $f_j^{+}=\underset{1\le i\le n}{\max }(f_{ij})$ ，以及负理想解 $f_j^{-}=\underset{1\le i\le n}{\min }(f_{ij})$。
3. 对于每个方案，计算 $S$ 值（综合距离，表示方案与正理想解之间的综合距离）和 $R$ 值（个体最大距离，表示方案在最不利标准下与正理想解之间的距离）：$$S_i=\sum _{j=1}^m\frac{w_j(f_j^{+}-f_{ij})}{f_j^{+}-f_j^{-}}$$$$R_i=\underset{1\le j\le m}{\max }\left(\frac{w_j(f_j^{+}-f_{ij})}{f_j^{+}-f_j^{-}}\right)$$这里 $w_j$ 是给每个标注取的权重，默认情况下那么都取 $1/m$。
4. 计算每个方案的 $Q$ 值，这个值是综合所有方案的 $S$ 值与 $R$ 值得出的结果：$$Q_i=v\times \frac{S_i-S^{+}}{S^{-}-S^{+}}+(1-v)\times \frac{R_i-R^{+}}{R^{-}-R^{+}}$$其中，
   • $S^{+}=\underset{1\le i\le n}{\min }(S_i)$，$S^{-}=\underset{1\le i\le n}{\max }(S_i)$，$R^{+}=\underset{1\le i\le n}{\min }(R_i)$，$R^{-}=\underset{1\le i\le n}{\max }(R_i)$。
   • $v$ 是一个在 $0$ 到 $1$ 之间的权重，通常取 $0.5$，表示 $S$ 值和 $R$ 值的平衡。当 $v>0.5$ 时，表示根据最大群体效用的决策机制进行决策;当 $v<0.5$ 时，表示根据最小个体遗憾的决策机制进行决策。数学建模时，这个 $v$ 可能适合拿来灵敏度分析。
5. 对这个 $Q$ 值进行升序排序，就是各个方案的最终排名。一般取 $Q$ 值最小的为最优。

参考文献：VIKOR方法_vikor方法简介-CSDN博客

代码实例

  就使用上面评价飞机的那个例子。首先观察到费用是一个极小型指标，需要极大化。书上直接给出了使用比例变换法将所有指标极大归一化的结果，因此下面的代码中直接使用这个结果：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn import preprocessing
import matplotlib.pyplot as plt# 这个就是极大归一化后的数据
data = pd.DataFrame([[0.8,0.5556,0.9524,0.8182,0.7143,1],[1,1,0.8571,0.6923,0.4286,0.5],[0.72,0.7407,1,1,1,0.7],[0.88,0.6667,0.9524,0.9,0.7143,0.5]])# 确定正负理想解
f_best = data.max(axis = 0)
f_worst = data.min(axis = 0)
# 计算 S 和 R
S = []
R = []
for i in range(data.index.size):S.append(sum((f_best - data.iloc[i,:])/(f_best - f_worst))/data.columns.size)R.append(max((f_best - data.iloc[i,:])/(f_best - f_worst))/data.columns.size)# 计算 Q
S = np.array(S)
R = np.array(R)
qq = [[],[],[],[]]
v_arr = np.linspace(0,1,1000)
for v in v_arr:Q = 0if(S.max() - S.min() != 0):Q += v * (S - S.min()) / (S.max() - S.min())if(R.max() - R.min() != 0):Q += (1 - v) * (R - R.min()) / (R.max() - R.min())for i in range(len(Q)):qq[i].append(Q[i])# 作图部分
plt.rc('text',usetex = True)
plt.plot(v_arr,qq[0],label = '$A_1$')
plt.plot(v_arr,qq[1],label = '$A_2$')
plt.plot(v_arr,qq[2],label = '$A_3$')
plt.plot(v_arr,qq[3],label = '$A_4$')
plt.xlabel('$v$')
plt.ylabel('$Q_i$')
plt.legend()
plt.show()

  上面的代码，我尝试了 $(0,1)$ 中的许多 $v$ 值，作出了 $Q_i(i=1,2,3,4)$ 关于 $v$ 的图线，如下图所示：

  可以看出，无论 $v$ 怎么选，结果都是固定的：$A_3>A_1>A_4>A_2$。这和熵权法的结果一样，而 TOPSIS 的结果是 $A_3>A_1>A_2>A_4$。总而言之 Vikor 还是个比较不错的方法。