【计算机组成原理】详细解读带符号整数在计算机中的运算

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

经过前面的介绍，我们已经初步认识了有符号整数的三种表示形式：

• 原码——用机器数的最高位表示符号，其余位表示数值。
  • 符号位为0，表示正数
  • 符号位为1，表示负数
  • $n$ 位机器数对应的取值范围：$-(2^{n-1}-1)～2^{n-1}-1$
• 反码——原码符号位不变，数值位按位取反。
  • 反码常用于数码变换的中间表示形式
  • $n$ 位机器数对应的取值范围：$-(2^{n-1}-1)～2^{n-1}-1$
• 补码——反码+1
  • 有符号整数在计算机中的存储形式
  • 补码的符号位参与运算
  • $n$ 位机器数对应的取值范围：$-2^{n-1}～2^{n-1}-1$

在接下来的内容中，我们将会进一步的深入探讨原、反、补这三种表现形式的内容。今天我们将会从最简单的有符号整数的运算开始介绍。

在前面我们有提到过，有符号整数在通过原码进行运算时，会存在一些问题：

• 两个不同符号的加法运算（或同符号的减法运算），需要完成三步运算：
  • 比较两个值的绝对值大小
  • 用绝对值大的数减去绝对值小的数
  • 给运算结果选择合适的符号
• 两个同符号的加法运算（或不同符号的减法运算），需要完成三步运算：
  • 减法运算改为加法运算，即加上被减数的相反数
  • 从右到左，数值位逐位相加，符号位不参与运算
  • 符号位取左操作数的符号

可以看到，同样是加减法运算，仅仅因为加减法的对象不同，其运算的方式却有差异，为了提高运算的效率，降低硬件的开发成本，于是便有了补码，那么在有符号的整数中，其补码形式又是如何进行运算的呢？下面我们就一起来探讨一下补码的加减运算；

一、补码的优势

在原码的运算中，由于机器数的最高位表示的是符号位，并且符号位不参与运算，因此实际在进行运算的只有除符号位以外的数值位，而运算结果的符号，还需要根据结果进行判断，这就导致其运算过程变的及其复杂；

但是在补码的运算中，符号位要参与运算，此时我们就不需要再去考虑结果的符号，正常的完成运算后，运算结果的符号也就同时确定了下来，这样就大大降低了运算的难度。

而且真值0的原码表示有 $[+0{]}_{原}=0,0000$ 和 $[-0{]}_{原}=1,0000$ 两种形式，而在补码中，真值0的补码只有 $[0{]}_{补}=0,0000$ 一种形式，并且补码相比于原码还能够多表示一位负数 $-2^{n-1}$ 。

从这几点来看，有符号整数以补码的形式进行存储，并通过补码运算的优势还是很明显的。

二、补码的加法运算

有符号整数的补码加法规则很简单，从右到左，依次相加，逢二进一，如下所示：

可以看到，整个过程并不复杂，并且这个过程有细心的朋友就会发现，除了后续的补码转换成原码之外，整个加法运算的过程是和无符号整数的加法是一样的。那么这个补码的运算是否和无符号整数的运算有联系呢？

在无符号整数的运算中我们就有介绍过，计算机中，减法电路的造价会高于加法电路的造价，因此，为了节约开发成本，计算机中的减法都会以加法的形式来完成，这里就包括有符号整数的加法。

那在有符号整数中的减法是如何实现的呢？下面我们就来继续探讨一下有符号整数的减法；

三、补码的减法运算

有符号整数的减法实际上和无符号整数的减法一样，在式子 $A-B$ 中都是选择将减数 $B$ 按位取反，末位+1，注意这里的按位取反是连同符号位一起按位取反，如下所示：

当完成转换后我们会发现，最终得到的这个数值应该是减数的相反数，为什么会这样呢？

其实这里很好理解，我们要注意看减数的这一步转换是如何执行的：

• 先转换数值位：按位取反，末位+1，这个一步转换获取的减数对应的原码
• 再转换符号位：按位取反，此时负数变成了正数

这么一看，经过这一步换算之后，原数的相反数了吗。这时有朋友就会说了，你这是负值的转换，当然没问题了，那正值呢？

这个问题问的非常好，对于正数而言，它的转换过程如下所示：

• 先转换符号位：按位取反，此时整数变成了负数
• 再转换数值位：按位取反，末位加1，此时获取的是负数的补码

从正数的转换来看，我们把这种转换成为获取减数的相反数似乎是不太准确的，更准确的说法应该是相反数的补码：

• 正数：获取的是其对应负数的补码
• 负数：获取的是其对应正数的补码

在完成转换后，此时的减法也就变成了加法，其运算规则为：从右到左，逐位相加，逢二进一。

现在大家有发现什么吗？

没错，当有符号整数以补码的形式进行运算时，其运算的过程与无符号整数的运算是一致的，也就是说，用补码的形式来存储有符号整数，在进行运算的时候，可以使用同一个电路来完成无符号整数和有符号整数的运算，而且还是使用造价低的加法电路，

四、原码、反码、补码的特性

接下来我们就来对原码、反码、补码的特性做个总结，以机器数为n位的机器为例，下面我们会从不同的方面来进行对比：

• 真值0的表示形式
  • 原码：两种表示形式： $[+0{]}_{原}=0,0000$ 和 $[-0{]}_{原}=1,0000$
  • 反码：两种表示形式： $[+0{]}_{反}=0,1111$ 和 $[-0{]}_{反}=1,1111$
  • 补码：一种表示形式： $[0{]}_{补}=0,0000$
  • 无符号整数：一种表示形式： $000\dots 000$
• 最大值：
  • 原码：$2^{n-1}-1$
  • 反码：$2^{n-1}-1$
  • 补码：$2^{n-1}-1$
  • 无符号整数：$2^n-1$
• 最小值：
  • 原码：$-(2^{n-1}-1)$
  • 反码：$-(2^{n-1}-1)$
  • 补码：$-2^{n-1}$
  • 无符号整数：$0$
• 取值范围：
  • 原码：$-(2^{n-1}-1)～2^{n-1}-1$
  • 反码：$-(2^{n-1}-1)～2^{n-1}-1$
  • 补码：$-2^{n-1}～2^{n-1}-1$
  • 无符号整数：$0～2^n-1$
• 运算方式：
  • 原码：数值位运算，符号位不参与运算
  • 反码：不参与运算
  • 补码：数值位符号位都参与运算
  • 无符号整数：所有二进制位都参与运算

结语

今天的内容到这里就全部结束了，在下一篇内容中我们将介绍《移码》的相关内容，大家记得关注哦！如果大家喜欢博主的内容，可以点赞、收藏加评论支持一下博主，当然也可以将博主的内容转发给你身边需要的朋友。最后感谢各位朋友的支持，咱们下一篇再见！！！