递归的时间复杂度分析

确定回溯算法的时间复杂度通常比较复杂，因为它取决于搜索空间的大小以及你的剪枝效率。对于生成从1到n的所有长度为k的组合。分析这类算法的时间复杂度时，我们通常需要考虑递归树的所有可能路径。

组合数

生成的组合数量是从n个元素中选择k个的组合数，记为 C(n, k)，其计算公式为：
[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]
这个值也代表了在不考虑递归过程中操作的成本时你需要填充结果数组的次数。

分析

在回溯过程中，对于每一次递归调用：

1. 你可能进入更深一层的递归，每次深入都会将一个元素加到当前组合tem中。
2. 每次递归可以选择的元素数量逐渐减少，直到tem的大小达到k。

在最坏的情况下，每个可能的组合都会被完整地探索一次。但由于你在每层都减少了可选项的数量（通过i + 1的方式），这意味着实际上搜索树的总节点数量（即函数调用的总次数）远小于简单的全排列，即 n^k。

粗略的时间复杂度

• 每个叶节点的到达：对于每个叶节点（即每一个完整的组合），你进行了 k 次递归调用。
• 整体调用次数：如果我们考虑整个递归树，调用的总次数是所有从根到叶的路径数的总和。这是一个较难直接计算的数字，但可以理解为 O(C(n, k) * k)，即每个组合需要 k 步达到，并且有 C(n, k) 个这样的组合。

实际计算

• 最坏情况：在实际应用中，通常以 O(n^k) 来近似，尽管这是一个保守的估计，实际复杂度通常低于这个值，特别是在剪枝做得好的情况下。
• 操作成本：除了递归调用外，还应考虑每次调用中进行的操作，如添加元素到数组、复制数组等，这些也会影响实际的时间复杂度。

总结来说，虽然确切的时间复杂度取决于具体实现细节和输入值，但对于回溯算法，通常认为其时间复杂度与生成的输出规模（在这里是 C(n, k)）和每次输出的成本（大约为 O(k)）相关。