算法.图论-并查集

1. 并查集介绍

定义：
并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题（即所谓的并、查）。比如说，我们可以用并查集来判断一个森林中有几棵树、某个节点是否属于某棵树等
并查集的常见的方法:

方法	作用
int find (int)	作用就是查找一个元素所在大集合的代表元素, 返回这个元素
boolean isSameSet (int, int)	判断传入的两个元素是不是同属一个大集合, 返回T/F
void union (int, int)	合并传入的两个元素所代表的大集团(注意不仅仅是这两个元素)

并查集的时间复杂的要求就是实现上述的操作的时间复杂度都是O(1)
下面是关于并查集的一些常见的操作的图示

2. 并查集的实现

2.1 实现逻辑

不论是哈希表的机构还是list的顺序结构或者是其他的常见的数据结构, 都不可以做到时间复杂度是O(1)的这个指标, 我们直接介绍实现的方式 --> 通过一个father数组以及size数组
关于这两个数组的含义:

数组	含义
father	下标i代表的是元素的编号, father[i]代表的是他的父亲节点
size	下标i代表的是元素的编号, size[i]代表的是这个节点的孩子节点的个数(包括本身)

初态就是这个样子, 每一个元素的父亲节点都是其本身, 也就是说每一个节点本身就是其所在集合的代表节点, 然后这个集合的大小就是1
下面我们执行操作
step1 : union(a, b)
step2 : union(c, a)
下面是图示(图解一下操作1, 操作2其实是同理的)

上面的图解也说明了很多问题, 我们的树形结构的挂载的方式是, 小挂大(小的树挂到大树上)
此时进行了union操作之后的逻辑结构就是左下角所示, 此时我们 {a,b} 共属于一个集合, 进行find操作的时候, find(a) 的结果是 b, find(b) 的结果也是 b, 此时size数组中a的值不会再使用了, 因为这时a不可能是领袖节点了, 也就是说这个数据是脏数据…

2.2 isSameSet方法

其实正常来说我们的isSameSet方法和union方法都需要调用find方法, 但是find方法中的路径压缩的技巧是比较重要的, 所以我们单独拎出来放后面说(这里假设已经实现好了), 实现也是比较简单的, 只需要找到这两个元素的代表领袖节点看是不是一个就可以了

	//isSameSet方法private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}

2.3 union方法(小挂大优化)

解释一下小挂大概念, 在算法导论这本书中说到的是一种秩的概念, 本质上也是为了降低树(集团)的高度所做出的努力, 但这个不是特别必要的…, 也就是在两大集团合并的时候, 小集团(小数目的节点)要依附大集团而存在, 也就是合并的时候, 小集团要挂在大集团上面, 这样可以从一定程度上降低树的高度
代码实现如下

	//union方法private static void union(int a, int b){int fa = find(a);int fb = find(b);if(fa != fb){sets--;if(size[fa] >= size[fb]){father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];}else{father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}}}

2.4 find方法(路径压缩优化)

上面的union的小挂大优化, 其实不是特别必要的, 但是我们find方法中的路径压缩是一定要完成的, 如果没有路径压缩的话, 我们的时间复杂度的指标就不会是O(1)
路径压缩指的就是, 在find方法找到父亲节点的时候, 同时把我们的沿途所有节点的父亲节点都改为找到的父亲节点, 以便于操作的时候不用遍历一个长链去寻找父亲节点, 图解如下

假设我们执行find(a)操作, 就会如图所示把我们的沿途的所有节点的父亲节点都改为领袖节点e
我们借助的是stack栈结构, 或者是递归(其实就是系统栈)实现的

private static final int MAX_CP = 31;private static final int[] father = new int[MAX_CP];private static final int[] size = new int[MAX_CP];private static final int[] stack = new int[MAX_CP];//find方法(路径压缩的迭代实现)private static int find1(int a){int sz = 0;while(father[a] != a){stack[sz++] = a;a = father[a];}while(sz > 0){father[stack[--sz]] = a;}return father[a];}//find方法(路径压缩的递归实现)private static int find(int a){if(father[a] != a){father[a] = find(father[a]);}return father[a];}

3. 并查集模板

上面就是我们关于并查集最基本的分析, 我们提供几个测试链接测试一下

牛客并查集模板

//并查集的基本实现方式
import java.util.*;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.IOException;public class Main {private static final int MAXN = 1000001;private static final int[] father = new int[MAXN];private static final int[] size = new int[MAXN];private static final int[] stack = new int[MAXN];private static int cnt = 0;private static void build(int sz) {cnt = sz;for (int i = 0; i <= cnt; i++) {father[i] = i;size[i] = 1;}}private static int find(int n) {//下面就是扁平化(路径压缩的处理技巧)int capacity = 0;while (father[n] != n) {stack[capacity++] = n;n = father[n];}//开始改变沿途节点的指向while (capacity > 0) {father[stack[--capacity]] = n;}return father[n];}private static boolean isSameSet(int a, int b) {return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b) {//下面的设计就是小挂大的思想int fa = find(a);int fb = find(b);if (fa != fb) {if (size[fa] >= size[fb]) {father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];} else {father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}}}//我们使用的是高效率的io工具(使用的其实就是一种缓存的技术)public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {int n = (int)in.nval;build(n);in.nextToken();int m = (int)in.nval;for (int i = 0; i < m; i++) {in.nextToken();int op = (int)in.nval;in.nextToken();int n1 = (int)in.nval;in.nextToken();int n2 = (int)in.nval;if (op == 1) {out.println(isSameSet(n1, n2) ? "Yes" : "No");} else {union(n1, n2);}}}out.flush();out.close();br.close();}
}

洛谷并查集模板

//并查集的基本实现方式
import java.util.*;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.IOException;public class Main {private static final int MAXN = 100001;private static final int[] father = new int[MAXN];private static final int[] size = new int[MAXN];private static final int[] stack = new int[MAXN];private static int cnt = 0;private static void build(int sz){cnt = sz;for(int i = 0; i <= cnt; i++){father[i] = i;size[i] = 1;}}private static int find(int n){//下面就是扁平化(路径压缩的处理技巧)int capacity = 0;while(father[n] != n){stack[capacity++] = n;n = father[n];}//开始改变沿途节点的指向while(capacity > 0){father[stack[--capacity]] = n;}return father[n];}private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}private static void union(int a, int b){//下面的设计就是小挂大的思想int fa = find(a);int fb = find(b);if(fa != fb){if(size[fa] >= size[fb]){father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];}else{father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}}}//我们使用的是高效率的io工具(使用的其实就是一种缓存的技术)public static void main(String[] args) throws IOException{BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(br);PrintWriter out = new PrintWriter(new OutputStreamWriter(System.out));while(in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF){int n = (int)in.nval;build(n);in.nextToken();int m = (int)in.nval;for(int i = 0; i < m; i++){in.nextToken();int op = (int)in.nval;in.nextToken();int n1 = (int)in.nval;in.nextToken();int n2 = (int)in.nval;if(op == 2){out.println(isSameSet(n1, n2) ? "Y" : "N");}else{union(n1, n2);}}}out.flush();out.close();br.close();}
}

4. 并查集习题

4.1 情侣牵手

leetcode765.情侣牵手题目链接

//本题的前置知识可能是置换环(这一题的并查集的思路尤其不好想)
class Solution {
//核心点的分析就是如果一个集合里面有k对情侣, 那么我们至少需要交换 k - 1 次private static final int MAX_CP = 31;private static final int[] father = new int[MAX_CP];private static final int[] size = new int[MAX_CP];private static final int[] stack = new int[MAX_CP];private static int sets = 0;//初始化并查集private static void build(int n){sets = n;for (int i = 0; i < n; i++) {father[i] = i;size[i] = 1;}}//find方法(路径压缩的实现)//find方法(路径压缩的递归实现)private static int find(int a){if(father[a] != a){father[a] = find(father[a]);}return father[a];}//isSameSet方法private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}//union方法private static void union(int a, int b){int fa = find(a);int fb = find(b);if(fa != fb){sets--;if(size[fa] >= size[fb]){father[fb] = fa;size[fa] += size[fb];}else{father[fa] = fb;size[fb] += size[fa];}}}public int minSwapsCouples(int[] row) {int cpN = row.length / 2;build(cpN);for(int i = 0; i < row.length; i += 2){union(row[i] / 2, row[i + 1] / 2);}return cpN - sets;}
}

4.2 相似字符串组

leetcode839.相似字符串组

//简单的并查集的应用
class Solution {private static final int MAXN = 301;private static final int[] father = new int[MAXN];private static final int[] size = new int[MAXN];private static final int[] stack = new int[MAXN];private static int sets = 0;//初始化并查集的方式private static void build(int n){sets = n;for(int i = 0; i < n; i++){father[i] = i;size[i] = 1;}}//find方法private static int find(int a){int sz = 0;while(father[a] != a){stack[sz++] = a;a = father[a];}while(sz > 0){father[stack[--sz]] = a;}return father[a];}//isSameSet方法 private static boolean isSameSet(int a, int b){return find(a) == find(b);}//union方法private static void union(int a, int b){int fa = find(a);int fb = find(b);if(fa != fb){sets--;if(size[fa] >= size[fb]){size[fa] += size[fb];father[fb] = fa;}else{size[fb] += size[fa];father[fa] = fb;}}}public int numSimilarGroups(String[] strs) {int n = strs.length;int m = strs[0].length();build(n);for(int i = 0; i < n; i++){for(int j = i + 1; j < n; j++){if (find(i) != find(j)) {int diff = 0;for (int k = 0; k < m && diff < 3; k++) {if (strs[i].charAt(k) != strs[j].charAt(k)) {diff++;}}if (diff == 0 || diff == 2) {union(i, j);}}}}return sets;}
}