数学符号练习-函数连续性与导数

前言
其实主要的目的是可以在文本中输出各种数学符号，便于以后用到的时候有现成的例子拿过来抄~~

函数的连续性

设函数 $y=f(x)$在点$x_0$的某邻域内有定义,如果当自变量的改变$\Delta x$趋近于0时，相应函数的改变量也趋近于0，则称$y=f(x)$在点$x_0$处连续。
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta y=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$$

函数连续的条件

函数$f(x)$在点$x_0$处连续，需要满足的条件:

1. 函数在该点处有定义
2. 函数在该点处极限 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在
3. 极限值等于函数值$f(x_0)$

函数的间断点

函数$f(x)$在$x=x_0$处不连续，称其为函数的间断点。3中情况为间断点:

1. 函数$f(x)$在点$x_0$处没有定义
2. 极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$不存在
3. 满足前两点，但是$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ne f(x)$

导数

如果平均变化率的极限存在
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
则称此极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数,$f^{\prime }(x_0)$
$$y^{\prime }={|}_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}或\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$$