优化理论及应用精解【12】

最优化基础

基本概念

一、目标函数

定义：

目标函数（Objective Function）是优化问题中希望最大化或最小化的函数，它用数学表达式描述了所追求的目标形式。在优化设计中，目标函数是设计变量的函数，用于衡量设计方案的优劣。

性质与特点：

• 明确性：目标函数具有明确的数学表达式和计算方法。
• 可衡量性：通过目标函数的计算，可以得到一个或多个数值结果，用以衡量决策方案的优劣。
• 优先性：在多目标决策问题中，不同的目标函数可能有不同的优先级，需要根据问题的实际情况进行权衡和取舍。

分类：

• 线性目标函数：函数的输出与输入之间呈线性关系，形式简单，易于理解和计算。
• 非线性目标函数：函数的输出与输入之间呈非线性关系，形式较为复杂，需要采用相应的优化算法进行求解。
• 多目标函数：同时考虑多个目标函数的优化问题，需要综合考虑多个目标的权衡和取舍。

作用：

• 在优化过程中，通过改变设计变量来不断改善目标函数的值，最终求得令目标函数最优（最大或最小）的设计变量值。

二、约束条件

定义：

约束条件（Constraint Condition）是优化问题中必须遵循的限制性条件，它描述了决策变量的取值范围或必须满足的特定条件。在数学和工程领域中，约束条件用于限制优化问题的解空间，以确保找到的解是可行的和符合实际应用背景的。

分类：

• 显性约束条件：可以通过等式或不等式直接描述的约束条件。
• 隐形约束条件：难以直接通过数学表达式描述的约束条件，通常基于经验或专业知识来判断。

类型：

• 几何约束（边界约束）：根据某种设计要求，设计变量必须满足的某些几何条件以及只对设计变量的取值范围加以限制的那些约束。
• 性能约束：指满足特定工作性能而建立的约束条件。

作用：

• 约束条件减少了设计变量的自由度，使得优化问题在严格的范围内进行求解。

三、约束函数

定义：

约束函数（又称约束条件）是设计变量本身或设计变量之间取值的限制条件，或说是附加的设计条件。在优化设计中，每个限制条件都可写成包含设计变量的函数，这个函数就称为约束函数。

特点：

• 等式约束：对设计变量的严格约束，起着降低设计自由度的作用。
• 不等式约束：描述设计变量取值范围的上限或下限。

处理方法：

• 基于保留可行解的方法：在优化过程中始终保留满足约束条件的解。
• 基于惩罚函数的方法：对不满足约束条件的解给予惩罚，从而在优化过程中逐步逼近可行域。
• 基于区分可行解与不可行解的方法：在优化过程中明确区分可行解与不可行解，并优先搜索可行解。
• 基于解码器的方法：通过特定的解码器将设计变量映射到满足约束条件的解空间。

综上所述，目标函数、约束条件和约束函数是优化问题中的三个关键要素。目标函数用于描述优化的目标；约束条件和约束函数则用于限制优化问题的解空间，确保找到的解是可行的和符合实际应用背景的。

可行域与可行点

是两个重要的概念，它们共同构成了求解约束优化问题的基础。以下是对这两个概念的详细解释：

可行点

• 定义：满足优化问题（如线性规划、非线性规划等）所有约束条件的点称为可行点。在数学上，这通常表示为一组决策变量的取值，这些取值使得所有的约束条件都得到满足。
• 性质：可行点是优化问题潜在解的一部分。在求解优化问题时，我们需要在可行点中寻找使目标函数达到最优（如最大或最小）的解。

可行域

• 定义：所有可行点构成的集合称为可行域。在数学上，可行域通常表示为一个满足所有约束条件的决策变量取值的集合。

• 性质：

  • 约束性：可行域是由约束条件定义的，只有满足这些约束条件的点才属于可行域。
  • 凸性：在许多情况下，可行域是一个凸集，这意味着连接可行域内任意两点的线段仍然完全位于可行域内。凸性对于优化问题的求解具有重要意义，因为它保证了某些优化算法（如梯度下降法、单纯形法等）的收敛性和有效性。
  • 最优解的存在性：在凸集上，如果目标函数是凸函数（或凹函数），则最优解一定存在于可行域的边界上（或内部）。这一性质为优化问题的求解提供了重要的理论依据。

可行点与可行域的关系

• 包含关系：可行点是可行域的基本元素，可行域是由所有可行点构成的集合。
• 求解过程：在求解优化问题时，我们首先需要确定可行域，然后在可行域内搜索最优解。这通常涉及对可行点的评估和比较，以找到使目标函数达到最优的可行点。

示例

以线性规划问题为例，假设我们有一个目标函数f(x)和一组约束条件g(x)≤0。那么，满足所有约束条件g(x)≤0的x的取值就构成了可行域。在这个可行域内，我们需要找到使目标函数f(x)达到最小的x的取值，这个点就是最优解，同时也是一个可行点。

综上所述，可行域与可行点是优化设计中不可或缺的概念，它们共同构成了求解约束优化问题的基础。

最优值与可行域的关系

1. 最优值一定在可行域内取得

• 定义关系：最优值是指使目标函数取得最小值（对于最小化问题）或最大值（对于最大化问题）的值。根据优化问题的定义，这个最优值必须是在满足所有约束条件的可行域内取得的。
• 逻辑必然性：由于可行域包含了所有满足约束条件的解，而最优解是使目标函数取得最优值的解，因此最优解必然位于可行域内，进而最优值也必然在可行域内取得。

2. 可行域定义了最优解的搜索空间

• 搜索空间：可行域为优化问题的求解提供了搜索空间。在求解优化问题时，我们不需要在整个决策变量空间内搜索，而只需在可行域内进行搜索。
• 效率提升：通过限制搜索空间为可行域，可以大大提高优化算法的搜索效率，减少不必要的计算量。

3. 最优值的存在性与可行域的性质有关

• 凸性：在许多情况下，如果可行域是凸集，并且目标函数是凸函数（对于最小化问题）或凹函数（对于最大化问题），则可以保证最优解的存在性和唯一性。这是因为凸集上的凸函数（或凹函数）具有全局最优解的性质。
• 非凸性：如果可行域不是凸集，或者目标函数不是凸函数（或凹函数），则最优解的存在性和唯一性就不能得到保证。在这种情况下，可能需要使用更复杂的优化算法来寻找全局最优解。

4. 最优值与可行域的边界关系

• 边界点：在许多优化问题中，最优解往往位于可行域的边界上。这是因为目标函数通常在可行域的边界上达到其极值。
• 内部点：然而，在某些情况下，最优解也可能位于可行域的内部。这通常发生在目标函数在可行域内部达到其极值的情况。

示例说明

假设我们有一个简单的线性规划问题，目标函数是求z=x+y的最大值，约束条件是x+2y≤4和x,y≥0。在这个问题中，可行域是由约束条件x+2y≤4和x,y≥0定义的平面区域。通过图解法或单纯形法等方法，我们可以找到使目标函数z=x+y取得最大值的点，这个点就是最优解，它一定位于可行域的边界上。同时，这个最优解对应的函数值就是最优值。

综上所述，最优值与可行域之间存在密切的关系。最优值一定在可行域内取得，而可行域则定义了最优解的搜索空间。此外，最优值的存在性与可行域的性质有关，而最优解可能位于可行域的边界上或内部。

目标函数在可行域上的下确界

下确界（也称为下界或最小值界限）是指目标函数在可行域内可能取得的最小值的最大下界。换句话说，它是所有可能的最小值中最大的一个，虽然这个值不一定能被实际达到。

定义与性质

1. 定义：

   • 设目标函数为 $ f(x) $，可行域为 $ D $。
   • 如果对于所有 $ x \in D $，都有 $ f(x) \geq m $，则称 $ m $ 是 $ f(x) $ 在 $ D $ 上的下界。
   • 在所有下界中，如果存在一个最大的下界 $ M $，使得对于任意下界 $ m $，都有 $ m \leq M $，则称 $ M $ 是 $ f(x) $ 在 $ D $ 上的下确界。

2. 性质：

   • 下确界是目标函数在可行域上可能取得的最小值的最大估计。
   • 如果目标函数在可行域上是连续的，并且可行域是紧致的（即闭合且有界），则下确界一定可以达到，即存在某个 $ x^* \in D $，使得 $ f(x^*) = M $。
   • 在某些情况下，即使可行域不是紧致的，或者目标函数不是连续的，下确界仍然可能存在，但不一定能达到。

求解方法

求解目标函数在可行域上的下确界通常涉及以下步骤：

1. 确定可行域：首先明确优化问题的约束条件，确定可行域 $ D $。

2. 分析目标函数：研究目标函数 $ f(x) $ 的性质，如连续性、可导性、凸性等，这些性质有助于后续的分析和求解。

3. 寻找下界：利用目标函数的性质和可行域的特点，尝试找到目标函数在可行域上的下界。这可以通过分析、计算、估计或利用已知的不等式等方法实现。

4. 优化求解：如果可能的话，利用优化算法（如线性规划、非线性规划、整数规划等）在可行域内搜索使目标函数取得最小值的解。这个解可能是下确界（如果下确界可以达到的话），或者是一个接近下确界的可行解。

5. 验证与证明：如果找到了一个可疑的下确界点 $ x^* $，需要验证它确实满足所有约束条件，并且目标函数在该点取得的值是下确界。这通常需要严格的数学证明。

示例

考虑一个简单的优化问题：最小化函数 $ f(x) = x^2 $ 在约束条件 $ -1 \leq x \leq 2 $ 下的值。

1. 确定可行域：可行域为 $ D = { x | -1 \leq x \leq 2 } $。

2. 分析目标函数：目标函数 $ f(x) = x^2 $ 是一个连续且凸的函数。

3. 寻找下界：由于 $ x^2 \geq 0 $ 对于所有实数 $ x $ 都成立，并且当 $ x = 0 $ 时取等号，所以 0 是一个下界。但考虑到可行域的限制，我们需要进一步分析。在可行域内，当 $ x = -1 $ 时，$ f(x) = 1 $；当 $ x = 2 $ 时，$ f(x) = 4 $。因此，在可行域内，目标函数的最小值不会小于 0。

4. 优化求解：在可行域内搜索使目标函数取得最小值的解。由于目标函数是凸的，并且可行域是紧致的，所以最小值一定可以达到。通过求解可知，当 $ x = 0 $ 时（该点位于可行域内），目标函数取得最小值 0。

5. 验证与证明：验证点 $ x = 0 $ 满足所有约束条件，并且目标函数在该点取得的值是下确界（即最小值）0。这可以通过直接计算 $ f(0) = 0^2 = 0 $ 来证明。

参考文献

1. 文心一言