Leetcode.1665 完成所有任务的最少初始能量

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Leetcode.1665 完成所有任务的最少初始能量 Rating ： 1901

题目描述

给你一个任务数组 tasks，其中 tasks[i] = [actuali, minimumi]：

• actuali是完成第 i 个任务 需要耗费 的实际能量。
• minimumi是开始第 i 个任务前需要达到的最低能量。

比方说，如果任务为 ````[10, 12]```且你当前的能量为 11 ，那么你不能开始这个任务。如果你当前的能量为 13 ，你可以完成这个任务，且完成它后剩余能量为 3 。

你可以按照 任意顺序 完成任务。

请你返回完成所有任务的 最少 初始能量。

示例 1：

输入：tasks = [[1,2],[2,4],[4,8]]
输出：8
解释：
一开始有 8 能量，我们按照如下顺序完成任务：
- 完成第 3 个任务，剩余能量为 8 - 4 = 4 。
- 完成第 2 个任务，剩余能量为 4 - 2 = 2 。
- 完成第 1 个任务，剩余能量为 2 - 1 = 1 。
注意到尽管我们有能量剩余，但是如果一开始只有 7 能量是不能完成所有任务的，因为我们无法开始第 3 个任务。

示例 2：

输入：tasks = [[1,3],[2,4],[10,11],[10,12],[8,9]]
输出：32
解释：
一开始有 32 能量，我们按照如下顺序完成任务：
- 完成第 1 个任务，剩余能量为 32 - 1 = 31 。
- 完成第 2 个任务，剩余能量为 31 - 2 = 29 。
- 完成第 3 个任务，剩余能量为 29 - 10 = 19 。
- 完成第 4 个任务，剩余能量为 19 - 10 = 9 。
- 完成第 5 个任务，剩余能量为 9 - 8 = 1 。

示例 3：

输入：tasks = [[1,7],[2,8],[3,9],[4,10],[5,11],[6,12]]
输出：27
解释：
一开始有 27 能量，我们按照如下顺序完成任务：
- 完成第 5 个任务，剩余能量为 27 - 5 = 22 。
- 完成第 2 个任务，剩余能量为 22 - 2 = 20 。
- 完成第 3 个任务，剩余能量为 20 - 3 = 17 。
- 完成第 1 个任务，剩余能量为 17 - 1 = 16 。
- 完成第 4 个任务，剩余能量为 16 - 4 = 12 。
- 完成第 6 个任务，剩余能量为 12 - 6 = 6 。

提示：

• $1<=tasks.length<=10^5$
• $1<=actuali<=minimumi<=10^4$

解法：贪心 + 排序

我们假设 $p$ 为能够完成所有任务的能量。有 $(a_0,m_0),(a_1,m_1),(a_2,m_2),(a_3,m_3),....,(a_{n-1},m_{n-1})$，共 $n$ 个任务。

按照题目的要求，如下不等式成立：

• $p\ge m_0$
• $p-a_0\ge m_1$
• $p-a_0-a_1\ge m_2$
• $p-a_0-a_1-a_2\ge m_3$
• …
• $p-a_0-a_1-a_2-a_3-...-a_{n-2}\ge m_{n-1}$

将其整理一下，得：

• $p\ge m_0$
• $p\ge a_0+m_1$
• $p\ge a_0+a_1+m_2$
• $p\ge a_0+a_1+a_2+m_3$
• …
• $p\ge a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{n-2}+m_{n-1}$

由于我们要求的是最少的能量，即我们要使 $p$ 的最大值 最小化。

我们现在考虑，是否能让上面 n 个不等式右侧的最大值 变小。

我们可以尝试交换相连的两项，看看会发生什么。交换 $(a_i,m_i)$ 和 $(a_{i+1},m_{i+1})$两项。

交换之前：

• $p\ge a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+m_i=P(i)$
• $p\ge a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+a_i+m_{i+1}=P(i+1)$

交换之后：

• $p\ge a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+m_{i+1}=P^{\prime }(i)$
• $p\ge a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+a_{i+1}+m_i=P^{\prime }(i+1)$

暂时只考虑这两项。交换之前的最大值为：max{P(i),P(i+1)}max\{P(i) , P(i+1)\}max{P(i),P(i+1)}；交换之后的最大值为: max{P′(i),P′(i+1)}max\{P'(i) , P'(i+1)\}max{P′(i),P′(i+1)}；

因为 $P^{\prime }(i+1)>P(i)$ , $P(i+1)>P^{\prime }(i)$。

我们要想让交换之后的最大值变小，即 max{P′(i),P′(i+1)}<max{P(i),P(i+1)}max\{P'(i) , P'(i+1)\} < max\{P(i) , P(i+1)\}max{P′(i),P′(i+1)}<max{P(i),P(i+1)}。

等价于 $P^{\prime }(i+1)<P(i+1)$，即 $a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+a_{i+1}+m_i<a_0+a_1+a_2+a_3+....+a_{i-1}+a_i+m_{i+1}$。

化简得，$a_i-m_i>a_{i+1}-m_{i+1}$。

所以我们要做的就是，找出所有的满足这样条件 $a_i-m_i>a_{i+1}-m_{i+1}$ 的相连两项，并将它们交换位置。这样做不一定会让最大值减小，但是绝对不会让最大值增大。

实际上我们没必要去模拟这个过程。我们只需要让 tasks 按照 $a_i-m_i$从小到大的排序，最后再遍历模拟这个求最大值的过程即可。

时间复杂度：$O(nlogn)$

C++代码：

class Solution {
public:int minimumEffort(vector<vector<int>>& tasks) {sort(tasks.begin(),tasks.end(),[&](auto &a,auto &b){return a[0] - a[1] < b[0] - b[1];}) ;int p = 0 , s = 0;for(auto &e:tasks){p = max(p,s + e[1]);s += e[0];}return p;}
};