鸡兔同笼，但是线性代数

灵感来自：bilibili，巨佬！

我们有 $14$ 个头，$32$ 只脚，所有鸡和兔都没有变异，头和脚都完整，没有数错。还有什么 Bug 吗

小学奥数

假设全是鸡，则有 $14\times 2=28$ 只脚。

但是少了 $4$ 只脚，因为我们看到一只兔子就施展膜法将其变成了鸡，导致所有兔子都变成了鸡。

每只兔子变成鸡，头数不变，少了两只脚，所以有 $4÷2=2$ 只兔子，有 $14-2=12$ 只鸡。

初中

鸡爷解：设有 $x$ 只鸡，$y$ 只兔。

则有：

$$\{\begin{array}{l}x+y=14\\ 2x+4y=32\end{array}$$

解得（过程太简单不写了 ，自行高斯消元）：

$$\{\begin{array}{l}x=12\\ y=2\end{array}$$

进入正题！（已经完全了解矩阵的神犇跳到最后）

线性变换（线性映射）是什么：一个函数，输入输出都是向量，满足如下性质：

$$\begin{array}{rl}f(k\vec{x})& =kf(\vec{x})\\ f(\vec{x}+\vec{y})& =f(\vec{x})+f(\vec{y})\end{array}$$

这个 $f$ 就是一个线性映射，通常记为 $A$。

向量是什么：一个 vector，还不懂吗。哦读者可能不是 C艹 党，所以说一下：向量就是一系列数，类似我们幼儿园就学过的数对。

向量也可以用来表示一个点，学习时通常是 $2$ 维或 $3$ 维的：

+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--O--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+

（- 和 | 是坐标轴，= 是 $x$ 轴，H 是 $y$ 轴，每条小线段长度为 $1$）

我们要表示图中的 O 点，就可以用数对，注意到 O 点在第 $3$ 列，第 $2$ 行，所以可以表示为 $(3,2)$。

如果我们想换种方法呢？

$$\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$$

记为 $\vec{O}$ 怎么样？$O$ 是名字，上面的箭头 $\stackrel{⃗}{}$ 表示它是一个向量。

实际上，向量可以理解为一个点，也可以理解为一条从原点指向某个点的箭头。

向量的数乘（就是一个数字乘上一个向量）就是把这个向量的长度乘上这个数，也就是把 $x$ 和 $y$ 坐标分别乘上这个数。

向量的加法（两个向量之和）就是把两个向量头尾拼起来，然后记录它们最终指向的点，它们的和就是这个点。

是不是感觉和复数有点像？没错，复数可以表示向量，但是仅限二维，然而向量可以是三维，四维，一维，零维，甚至 $114514$ 维（我乱说的）和 $12288$ 维（据说 GPT 内部的向量就是这个）。

现在我们有一个神奇的线性映射 $A$，作用是把向量的长度乘 $2$。容易验证它满足线性映射的条件。

则对 $\vec{O}$ 进行 $A$ 映射会怎么样？原本要记作 $A(\vec{O})$ 的，但是我们可以省略括号（真的吗，函数也可以吗），记作 $A\vec{O}$（不管你是怎么想的，反正目前数学界就是这么写的），也可以记作 $A$ 和 $\vec{O}$ 的积，也就是它们相乘的结果。

其实，一个线性映射就是一个矩阵，它的具体含义暂且不谈，这里只需要知道两个矩阵相乘就是两个矩阵相继作用的结果，比如 $A$ 和 $B$ 相乘，就是 $AB$，表示先进行 $B$ 变换再进行 $A$ 变换，很奇怪，但是函数不就是这样的吗？$A(B(\vec{u}))$ 嘛，省略掉括号。

我们来看看这种运算是否满足交换律，结合律（显然满足分配律，因为就是定义）：

$f(g(x))\ne g(f(x))$，不满足交换律 😦

$f(g(h(x)))=f(g(h(x)))$，满足结合律 😃

不过好像有点不太好？我们来详细地说一下。

$$(AB)C=A(BC)$$

对于前者：依次进行 $C$，$B$，$A$ 变换。

对于后者：依次进行 $C$，$B$，$A$ 变换。

有什么可以证明的？

接下来讲讲矩阵里面具体是什么。

对于一个二维空间，所有点都可以由两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 分别乘上两个数 $a$ 和 $b$ 的和得到，具体来讲是 $\vec{x}=a\vec{u}+b\vec{v}$。

通常，这个 $\vec{u}$ 就是 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$，一条指向正右方的长度为 $1$ 的向量，$\vec{v}$ 就是 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$，而你会惊喜地发现 $a$ 和 $b$ 就分别是 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，而这个向量就记作 $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$。

而这里的 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 就称作二维空间中的两个基向量，两个二维的基向量可以张成一个二维空间（就是可以控制 $a$ 和 $b$ 到达二维空间上的每一个点），这个二维空间记作 $\mathrm{span}(\vec{u},\vec{v})$，不过超纲了（大小写我也不大记得了）。

但如果 $\vec{u}$ 或者 $\vec{v}$ 不是这两个向量，那么还可不可以这样呢？绝大多数（无法这样的情况存在，但是是一个零测集）情况下，可以。但是就不会是 $x$ 坐标和 $y$ 坐标了。

比如加入 $\vec{u}=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$，$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]$，那么这里 $a$ 和 $b$ 就都是 $1$，可以记作由我们的新的基向量张成的空间上的点 $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$，此时 $a=b=1$。

而一个矩阵就是两个基向量拼起来，输入的向量在表达上不变。

具体来讲，设原来的（通常是由上面提到的最经典的使得 $a=x,b=y$ 的两个基向量）空间上有一个向量 $\vec{u}$，然后这个矩阵所含有的两个向量张成的空间上找到一个向量 $\vec{v}$，使得两个向量字面上一样。

比如原本的空间是这样的，两个基向量分别是 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$：

+--+--+--+--+--+--+--A--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--O--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+

矩阵的两个向量张成的空间是这样的，两个基向量分别是 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right]$：

+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--P--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+==+==+==+==+==+==+==+==+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  H  |  |  |  |
|  |  |  |  H  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+--+--+

其中 O 点和 P 点在字面上都是 $\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$，但是它们的位置却完全不一样。

而实际上，如果把第二个空间直接平移到第一个空间上面，使得原点重合（线性映射的性质保证了原点必然不变），那么 $P$ 点会移动到 $A$ 点的位置（实际上不会，因为我画的坐标轴的线是有宽度的，实际上不应该有宽度），而这个 $A$ 点就是这个结果，也就是 $\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$。

那么，如何计算呢？每算一个都画两个网格完全没必要吧？没事，我们来跟踪一下 $x$ 和 $y$，设两个基向量为 $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$。

那么先看 $x$ 坐标，原本的基向量的 $x$ 分别是 $1$ 和 $0$，显然因为右边是 $0$，所以第一个基向量的系数（如果你记忆力还不错的话，$a$）就是原本的 $x$，而现在变成了 $ax$。而第二个基向量的系数为 $y$，所以 $x$ 又增加了 $cy$，最终的 $x$ 坐标为 $ax+cy$。

再看 $y$ 坐标，同理，是 $bx+dy$。

而一个矩阵到底如何表示呢？很简单，把两个基向量拼到一起即可。

所以我们就得到了公式（注意，我把各个数的位置调换了一下，原本是 $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$）：

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ae+bf\\ ce+df\end{array}\right]$$

鼓掌！

那么我们如何计算两个矩阵相继作用的结果，也就是它们的积呢？

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right]=\text{what?}$$

我们可以看看两个基向量的去向。

首先，原本的基向量为 $\left[\begin{array}{c}e\\ g\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c}f\\ g\end{array}\right]$。

第一个基向量变换后为 $\left[\begin{array}{c}ae+bg\\ ce+dg\end{array}\right]$。

第二个基向量变换后为 $\begin{bmatrix} af+bh \ cf+dh \end{bmatrix} $。

所以最终的矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right]$。

当然，多次用矩阵乘法也可以证明结合律，试试看！（会逝世的，最好别试）

矩阵除法咋办？$\frac{A}{B}=A\cdot \frac{1}{B}=A{B}^{-1}$

矩阵求逆如何求？$A^{-1}=?$。

先介绍一个单位矩阵的概念，其实就是多个最纯粹的基向量拼起来。比如二阶单位矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，三阶单位矩阵为 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$。

介绍一种方法：先把这个矩阵和单位矩阵拼起来，类似这样：$ \left[\begin{array}{c c|c c} a&b&1&0 \ c&d&0&1 \end{array}\right] $（我擦这 $\text{KATEX}$ 好难打），然后进行初等行变换直到左边为单位矩阵，类似这样：$ \left[\begin{array}{c c|c c} 1&0&e&f \ 0&1&g&h \end{array}\right] $，右边的就是 $A$ 的逆。

初等行变换是什么？

1. 交换两行，记作 $r_a\leftrightarrow r_b$。
2. 把一行所有元素同时变成原来的某一倍，记作 $k{r}_a$。
3. 把两行元素相加，存到这两行中的某一行中，记作 $r_a+r_b$。

其实第三种和第二种结合可以变成一种更厉害的，一般用这种：

3. 把两行元素同时扩倍不同的（相同也可以）倍数后相加，结果存到这两行中的某一行中，记作 $k_1{r}_a+k_2{r}_b$。

于是我们就可以这样干：

将鸡兔同笼的矩阵记为 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$。

将题目记为 $\left[\begin{array}{c}14\\ 32\end{array}\right]$。

我们对矩阵求个逆：
$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 2& 4& 0& 1\end{array}\right]\\ \stackrel{r_2-2r_1}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 2& -2& 1\end{array}\right]\\ \stackrel{r_1-\frac{1}{2}{r}_2}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -\frac{1}{2}\\ 0& 2& -2& 1\end{array}\right]\\ \stackrel{\frac{1}{2}{r}_2}{\to }& \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& -1& \frac{1}{2}\end{array}\right]\end{array}$$
故逆矩阵为 $\left[\begin{array}{cc}2& -\frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{2}\end{array}\right]$。

将逆矩阵乘上 $\left[\begin{array}{c}14\\ 32\end{array}\right]$：

$$\left[\begin{array}{cc}2& -\frac{1}{2}\\ -1& \frac{1}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}14\\ 32\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}28-16\\ 16-14\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}12\\ 2\end{array}\right]$$

我们成功地用 $229$ 行 Markdown 代码解出了超级难的鸡兔同笼问题！鼓掌！